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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 6d

6. Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:

d) f x , y = x y ; com a condição de que 2 x 2 + y 2 = 16 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter os pontos da máximos e mínimos da função f x , y = x y dada a condição 2 x 2 + y 2 = 16 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para a solução desse problema podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange...

Dada uma função f e uma restrição g , podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange como

∇ f = λ ∇ g

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

A partir da manipulação dessas equações podemos obter os pontos críticos de f e substituindo em f descobrimos qual é maior e qual é menor...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se f x , y = x y e g :   2 x 2 + y 2 = 16

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ x y ∂ x , ∂ x y ∂ y

∇ f = y , x

Podemos definir g como uma função g x , y = 2 x 2 + y 2 - 16

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = ∂ 2 x 2 + y 2 - 16 ∂ x , ∂ 2 x 2 + y 2 - 16 ∂ y

∇ g = 4 x , 2 y

Montando a equação

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y 2 x 2 + y 2 = 16 → y = λ 4 x x = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 16 → λ = y 4 x λ = x 2 y 2 x 2 + y 2 = 16

Igualando as duas equações de λ ...

y 4 x = x 2 y → 2 y 2 = 4 x 2

y 2 = 2 x 2

Substituindo essa informação na terceira equação, temos

2 x 2 + 2 x 2 = 16 → 4 x 2 = 16

x = ± 2

se x = ± 2 , então

y 2 = 2 ± 2 2

y = ± 2 2

Dessa forma encontramos quatro pontos para analisar...

P 1 = 2,2 2 ,     P 2 = - 2,2 2 ,     P 3 = 2 , - 2 2 ,     P 4 = - 2 , - 2 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Para descobrir qual é o maior e o menor valor, substituímos na função f ...

Para P 1 , temos

f 2,2 2 = 2 · 2 2 = 4 2

Para P 2

f - 2,2 2 = - 2 · 2 2 = - 4 2

Para P 3

f 2 , - 2 2 = 2 · - 2 2 = - 4 2

E por último, para P 4

f - 2 , - 2 2 = - 2 · - 2 2 = 4 2

Dessa forma vemos que P 1 = 2,2 2 e P 4 = - 2 , - 2 2 são pontos de máximo e P 2 = - 2,2 2 e P 3 = 2 , - 2 2 são pontos de mínimo.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

P 1 = 2,2 2 e P 4 = - 2 , - 2 2 são pontos de máximo.

P 2 = - 2,2 2 e P 3 = 2 , - 2 2 são pontos de mínimo.

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