Maximize sujeito a , onde é uma constante real positiva fixa. Qual é o valor máximo da função objetivo no conjunto determinado pela restrição?
Mostre que para todo ocorre
Passo 1
Verificar se há algum ponto crítico no interior da região:
Vamos fazer
Calcular gradiente da função:
O único ponto que faz isso ser é o ponto como é positiva esse ponto está fora da restrição.
Passo 2
Verificar máximos e mínimos na fronteira da região:
Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:
Equação da curva:
Passo 3
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 4
Calcular gradiente de :
Passo 5
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 6
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Passo 7
Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:
Equação da curva:
Passo 8
Agora temos que resolver o sistema
Se considerarmos teremos uma situação igual a descrita no passo 1, que não é o que queremos.
Vamos dividir a primeira equação pela segunda
Isso nos diz que
Se fizermos a mesma coisa com a primeira e a terceira vamos achar
Isso nos diz que
Substituindo isso tudo na equação da restrição
Passo 9
Vamos ter
Dessa forma temos nove pontos, fazendo as combinações de , e mas repara que a função que queremos maximizar vai ser
O sinal não faz diferença, todos vão chegar na mesma coisa
Então temos pontos de máximo e o máximo da função vai ser
Passo 10
Vamos ter
Para todo , vamos passar uma raiz cúbica
Lembrando que
Pronto demostramos o que ele pediu.