Considere a função
Definida no conjunto
Assinale a afirmativa correta:
- em dois pontos de máximo e nenhum ponto de mínimo absoluto em . O valor máximo de em é .
- em dois pontos de máximo e um ponto de mínimo absoluto em . O valor máximo e mínimo de em são e , respectivamente.
- em dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo absolutos em . O valor máximo e mínimo de em são e , respectivamente.
- não tem pontos de máximo e mínimo absoluto em
- Todas as demais alternativas são falsas.
Passo 1
Bom, vamos precisar descobrir os pontos de máximo e/ou mínimo de com a restrição do conjunto fechado e limitado .
Não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “”, e não “”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.
O gradiente de é:
Igualando a zero, temos o ponto crítico:
E esse ponto está dentro da região , pois
Assim, vamos guardar esse candidato a máximo ou mínimo da fundção.
Passo 2
Agora, para encontrar os candidatos na fronteira da região , vamos usar Lagrange.
A fronteira da região é definida por:
Jogando tudo pra esquerda:
Chamamos isso de :
Calculamos o seu gradiente:
Passo 3
Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:
Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:
Passo 4
Agora, só precisamos manejar as primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição). Como na primeira equação já temos o isolado em função de , vamos substituir isso na segunda equação e vê onde a gente chega:
Considerando que :
Assim, ficamos com 3 situações:
•
•
•
Passo 5
Vamos começar analisando a primera situação:
Substituindo na primeira equação:
Agora podemos substituir isso na equação a restrição e ficamos com:
E dai a gente tira que
Portanto, temos mais dois pontos para candidatos de máximo e mínimo de :
Passo 6
Show, agora, podemos fazer a mesma coisa pra analisar a segunda situação:
Se você observar, como só acrescentamos um sinal de menos, o que vai acontecer é que vamos obter os mesmos resultados, só que com o sinal trocado. Assim, substituindo na primeira equação teremos
Substituindo na restrição, teremos:
E aí,
E nossos candidatos serão:
Passo 7
Agora só falta analisar a última situação, que é quando .
Substituindo na equação da restrição:
E nossos últimos candidatos serão:
Passo 8
Pronto! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.
Lembrando que a função é:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Temos, então, dois pontos de máximo e dois pontos de mínimo. E os valores máximo e mínimo são e .