Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange
Considere a função dada por
para um real fixado.
a) Determine os pontos críticos de e classifique-os, em função do parâmetro .
b) Faça e determine o valor máximo e o valor mínimo de em
Passo 1
a) Determinar pontos críticos? Deriva e iguala a ! Vamos encontrar as derivadas da função?
Derivando em relação a , teremos:
Derivando em relação a , teremos:
Show!
Passo 2
Agora temos que resolver cada uma das equações
Para que a primeira se anule, vemos direto que:
Logo, a primeira coordenada nos nossos pontos críticos será :D
Para que a segunda se anule, temos:
Sabemos que . Por isso, podemos dizer que:
Colocando em evidência,
E, assim, temos que ou , ou .
Portanto, os pontos críticos são e :D
Passo 3
Chegou a hora de classificar os pontos que encontramos! Para isso, precisamos das segundas derivadas e montar a hessiana.
Pegando o e derivando de novo em relação a , teremos:
Pegando o e derivando de novo em relação a , teremos:
Pegando o e derivando em relação a para encontrar a derivada mista, temos:
E a hessiana fica:
Passo 4
Agora que temos a hessiana, podemos testar se o que os pontos encontrados são :D
Colocando o , temos:
No caso de , é ponto de sela. No caso de , então é ponto de mínimo, pois é maior que !
Passo 5
Para o ponto , teremos:
Neste caso, se temos , então é ponto de mínimo pois é maior que , e, no caso de , é ponto de sela.
Passo 6
b) Verificar máximos e mínimos com restrição? Chegou a hora de mandar aquele LaGrange!
Como a região é , temos que verificar se temos candidatos pontos críticos dentro dela. No caso, podemos escrevê-la como:
E esse é um círculo (preenchido) de raio centrado em .
Sendo assim, o ponto que vamos levar em conta como candidato é o , que está dentro dessa região.
Passo 7
Agora, para aplicar LaGrange, precisamos dos vetores gradiente!
Como o enunciado pede pra colocarmos , então o vetor gradiente de que era:
fica
Show! Agora, precisamos encontrar o vetor gradiente da restrição, que podemos chamá-la de:
Para encontrá-lo, basta que derivemos essa equação:
E o vetor é:
Passo 8
Agora que temos os dois vetores, podemos dizer que eles são por LaGrange fazendo seu produto vetorial e igualando a :
Isso nos dá que:
Podemos colocar em evidência, fazendo:
E, assim, passando esse sinal de negativo pra dentro do ,
Colocando, agora, em evidência, temos:
Beleza? Acho que não dá pra colocar mais nada em evidência XD
Passo 9
Agora que temos a equação do produto vetorial, vamos juntá-la com a equação da restrição num sistema:
Da primeira, temos que, para dar , ou , ou , ou , certo? Para isso que sempre devemos colocar tudo o que pudermos em evidência! Facilita muito a vida depois ;)
Agora, vamos testar cada uma dessas soluções na equação da restrição (a de baixo).
Começando por , teremos:
Assim, os pontos que temos são e .
Passo 10
Testando agora com na equação da restrição, teremos:
E os pontos que temos são: e
Testando , teremos, na equação da restrição:
E os ponto candidato é !
Passo 11
Show! Finalmente encontramos todas as possibilidades! Nossos pontos candidatos são:
Vamos ver qual valor a função assume para cada um deles? Lembrando que agora tomamos ,
Para ,
Para ,
Para ,
Para ,
Para ,
Assim, o ponto de mínimo é e o de máximo é
Resposta
a) Se , é ponto de sela. Se , é ponto de mínimo. Se , é ponto de mínimo. Se , é ponto de sela.
b) Assim, o ponto de mínimo é e o de máximo é