34. Obtenha o ponto da elipse situado no 1° quadrante, no qual a tangente à curva forma com os eixos coordenados o triângulo de menor área possível. Calcule essa área mínima.
Passo 1
Vamos começar parametrizando a elipse.
Parametrizando:
Pois o ponto pertence ao primeiro quadrante.
Passo 2
Vamos encontrar o vetor tangente:
Passo 3
Agora suponha que temos um ponto qualquer no primeiro quadrante:
A gente vai precisar encontrar o valor do vetor tangente nesse ponto. Faremos assim:
Temos então:
Passo 4
Agora a gente substitui no vetor tangente para encontrar seu valor no ponto :
Passo 5
A gente já tem o valor do vetor tangente em um ponto e temos os valores das coordenadas nesse ponto, então podemos encontrar a equação da reta tangente. Fica:
Passo 6
Repare que o triângulo retângulo tem catetos de comprimentos no ponto e comprimento no ponto . Vamos encontrar e em função de . Temos:
- Ponto :
- Ponto :
Igualando as coordenadas vai ficar:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
O ponto está sobre a elipse, logo , então:
Igualando as coordenadas vai ficar:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
O ponto está sobre a elipse, logo , então:
Passo 7
A área do triângulo é dada por :
Temos que minimizá-la. Então, dá no mesmo que minimizar . Substituindo:
O que é o mesmo que minimizar . Ou seja, podemos minimizar , que vamos encontrar os mesmos valores. Porém , substituindo:
Ajeitando:
Derivando e igualando a zero, encontramos:
Temos duas possibilidades:
Caso 1:
Nenhum dos 3 valores é possível pois
Caso 2:
Portanto e
Passo 8
A área mínima é:
Resposta
O ponto é , a área mínima do triângulo é