Quais os valores máximo e mínimo, respectivamente de
No domínio
- e
- e
- O valor máximo é e o valor mínimo não existe
Passo 1
Não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “”, e não “”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.
O gradiente de é:
Igualando a zero, temos o sistema:
Da terceira equação, temos que
E das duas primeiras equações temos que
Assim, temos o ponto crítico
Se a gente substituir esse ponto na equação do domínio, vamos ver que ele pertence a região, que é uma esfera centrada na origem.
Show, então vamos guardar esse ponto.
Passo 2
Agora vamos buscar os candidatos a máximo e mínimo que estão na fronteira da região, que é:
Agora sim podemos usar Lagrange, pois estamos trabalhando só com a fronteira, ou seja, só com o .
Jogando tudo pra esquerda:
Chamamos isso de :
Calculamos o seu gradiente:
Passo 3
Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:
Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:
Passo 4
Agora, só precisamos manejar as primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição).
Observando as duas primeiras equações, eu sei que a mão coça para sair cortando o e o dos dois lados. Mas não podemos fazer isso logo de cara pois eles podem ser iguais a 0 e não podemos cortar termos iguais a 0. Devido a isso, nós temos 4 casos possíveis:
- e
- e
- e
Show, vamos então analisar cada caso e ver o que encontramos. Vamos começar pelo primeiro:
Se e :
Nesse caso, como sabemos que e são diferentes de zero, podemos cortar eles na primeira e segunda equação:
Repare que não podemos ter e ao mesmo tempo porque senão pela primeira equação teríamos e pela segunda, . Logo, o primeiro caso está descartado.
Passo 5
Se , a equação da restrição fica:
Assim, obtemos 2 pontos candidatos: os pontos e .
Passo 6
Agora vamos ao segundo caso.
Se e :
Pela segunda equação, temos .
Então, substituindo isso na terceira equação, ela fica:
Substituindo na ultima equação:
Mais 2 candidatos! Os pontos e .
Passo 7
Agora é a última possibilidade! Se e :
Pela primeira equação, temos . Substituindo isso na terceira, encontramos:
Agora vamos achar o com a ultima equação. Para isso, é só substituir nela. Encontramos:
Logo, os nossos últimos 2 candidatos são os pontos e .
Passo 8
Recapitulando, achamos os pontos
Que está dentro da região, e os pontos
Que estão na fronteira da região.
Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:
Portanto, os valores máximo e mínimo de , restrita ao domínio , são os 4 e .