Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 36
(Capítulo 14.8 – Exercício 36) Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
Exercício 46
Passo 1
Falaaa... belezinha??? Nessa questão vamos usar os multiplicadores de Lagrange:
E a nossa função podemos definir como:
E a restrição vai ser:
Que é a metade da área da superfície dessa caixa
Então só bora meter a mão na massa.
Passo 2
Então bora...
Daí ficamos com o sisteminha:
Subtraindo II de I e agrupando os termos, ficamos com , o que implica ou .
Em II, implica. Mas, se , de I, II e III concluímos que o produto entre duas medidas quaisquer seria , o que é impossível, pois isso resultaria em arestas com comprimento 0. Portanto, e .
Da mesma forma, subtraindo III de II, ficamos com , o que implica ou . Em II, implica , e recaímos no caso anterior. Logo, e .
Temos então . Substituindo essa relação na restrição, e como , achamos . Nossa caixa, portanto, é um cubo de aresta .
E é issoooo