4. A temperatura em um ambiente com solo plano não depende da altura. Fixando no solo uma origem, o eixo apontando para leste e o eixo para norte, ela é dada por
- Use multiplicadores de Lagrange para encontrar dentre os pontos que distam da origem, os de temperatura máximo e mínima?
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu uma superfície, onde a temperatura é função da sua posição no plano , dada por:
E pede para usarmos multiplicadores de Lagrange para encontrar as temperaturas de máximo e mínimo entre os pontos que distam da origem.
Para quem não lembra, o método de Lagrange com uma restrição serve para nos ajudar a calcular máximos e mínimos de uma função de várias variáveis, mas não no domínio todo da função, e sim só no pedaço dela que respeita a restrição dada.
E repara que o problema dá uma restrição para a gente, ao dizer que os pontos distam da origem (ou seja, em cima de uma circunferência de raio ).
Ou seja, pra usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos de 2 coisas: uma função que será pra maximizar ou minimizar, e uma restrição do tipo .
Geometricamente, isso significa que vamos procurar o máximo (ou mínimo) de somente em cima da curva de equação , e não no domínio todo.
Bora lá!
Passo 2
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo sobre essa curva basta resolver o seguinte:
Onde é uma incógnita (o famoso multiplicador de Lagrange!).
Assim, para achar os máximos e mínimos da função
Em cima da circunferência , vamos começar calculando os gradientes de e .
Para achar , vamos derivar:
Mas quem é ?
Passo 3
Então, galerinha, é essa circunferência aí que ele nos deu
MAAAs temos que arrumar sua expressão para que o lado esquerdo seja igual a zero.
Assim
Agora sim, vamos usar o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Tinhamos que,
Igualando termo a termo e adicionando a equação da curva de restrição, ficamos com o sistema
Podemos dividir as duas primeiras equações uma pela outra, já que pelo próprio sistema, sabemos que . Assim, chegamos a
Substituindo esse resultado na terceira equação, vemos que
Logo:
Então, galera, com esses valores de x e y, encontramos quatro pontos:
Para saber quem é ponto de máximo e quem é ponto de mínimo, temos que substituir na expressão de e ver seus valores.
Passo 5
Temos a seguinte equação,
Para o ponto , temos
Para o ponto , temos
Para o ponto , temos
Para o ponto , temos
Logo, é o ponto cuja temperatura é máxima e é o ponto cuja temperatura é mínima.
Resposta
- Temperatura máxima:
- Temperatura mínima: