Determine o ponto do elipsoide
mais próximo da origem.
Passo 1
A função a ser minimizada é o a distância de um ponto até a origem, ou seja:
Jogada de mestre: minimizar a função distância, é equivalente a minimizar o quadrado da função distância, isto é:
Basta minimizar essa função para pontos restritos ao elipsoide
Passo 2
Calcular gradiente da função:
Passo 3
Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:
Equação da superfície:
Passo 4
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 7
Igualar coordenadas, adicionar a equação da restrição e encontrar o sistema:
Passo 8
Resolver o sistema:
Pela primeira equação temos que ou
Ou
Da segunda equação temos que ou
Ou
E da terceira equação temos que ou
Ou
Repere que cada um desses valores de não atende as demais equações, a não ser que consideremos a solução das outras duas variáveis serem nulas.
Assim, temos três casos:
- Primeiro o caso :
- Agora o caso :
- E, por fim, o caso
Vamos analisar cada um separadamente.
Passo 9
Substituindo na equação da restrição, encontramos que
E temos os pontos .
Substituindo na equação da restrição, encontramos que
E temos os pontos .
Substituindo na equação da restrição, encontramos que
E temos os pontos .
Passo 9
Agora precisamos saber os pontos que minimizam nossa função, lembrando que
Se você reparar, como essa função é a soma de termos elevados ao quadrado, dentre nossos pontos candidatos, aqueles que vão minimizar essa função, que é a função distancia ao quadrado, e consequentemente vão minimizar a função distância, são aqueles pontos que tiverem valores das coordenadas mais baixos, em módulo.
E, no caso, esses pontos são: