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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UNICAMP. Calculo 2. 2021.2 - 6ª Manhã. Prova: P1. Questão 3.

Determine os pontos da superfície x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 onde o plano tangente é paralelo ao plano x - 2 y + 3 z = - 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos uma superfície, que vamos chamar de S , descrita pela equação x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 e também temos um plano, que vamos chamar de P , descrito pela equação x - 2 y + 3 z = - 2 .

Com isso, temos que calcular os pontos onde S é tangente a P .

Ok, mas como fazemos isso?? 🤔

Quando calculamos o gradiente de uma superfície ou de um plano, estamos calculando o vetor normal ao objeto.

Quando temos dois objetos paralelos, significa que o vetor normal deles também são paralelos, ou seja, se calcularmos o vetor gradiente de S e P e iguala-los, vamos encontrar os pontos que satisfaz as igualdades e esses pontos serão os pontos em que S é paralelo a P .

Entendeu? Bora ver na prática! 😉

Passo 2

Um vetor gradiente de uma superfície é dado pelas suas derivadas parciais, ou seja

∇ S = S x , S y , S z

Se S = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 1

Derivando com relação a x , temos

S x = ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 1 ∂ x

Pelo método de derivação polinomial e lembrando que para ∂ x , y e z são constantes

S x = 2 x 2 - 1 + 0 2 y 2 + 0 3 z 2 - 0 1

S x = 2 x

Derivando com relação a y

S y = ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 1 ∂ y

Aplicando o mesmo método de derivação

S y = 0 x 2 + 2 2 y 2 - 1 + 0 3 z 2 - 0 1

S y = 4 y

Por último, derivando com relação a z

S z = ∂ x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 1 ∂ z

Novamente pelo mesmo método, temos

S z = 0 x 2 + 0 2 y 2 + 3 2 z 2 - 1 - 0 1

S z = 6 z

Com isso, o gradiente de S é dado por

∇ S = 2 x , 4 y , 6 z

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente de P .

Como já vimos como faz no passo anterior, vamos ser mais diretos agora.

∇ P = P x , P y , P z

Sendo que as derivadas parciais de P são obtidas como

P x = ∂ x - 2 y + 3 z + 2 ∂ x

P y = ∂ x - 2 y + 3 z + 2 ∂ y

P z = ∂ x - 2 y + 3 z + 2 ∂ z

Pelo método de derivação polinomial, temos

P x = x 1 - 1 - 0 2 y + 0 3 z + 0 2

P y = 0 x - 2 y 1 - 1 + 0 3 z + 0 2

P z = 0 x - 0 2 y + 3 z 1 - 1 + 0 2

Simplificando os resultados

P x = 1

P y = - 2

P z = 3

Logo, o gradiente de P é dado por

∇ P = 1 , - 2,3

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Se ∇ S é o vetor normal a S e ∇ P é o vetor normal a P , logo quando S e P são paralelos ∇ S = ∇ P .

∇ S = k ∇ P

2 x , 4 y , 6 z = k 1 , - 2,3

k é um multiplicador.

Assim, temos um sistema formado por

2 x = k 1 4 y = - k 2 6 z = k 3

Simplificando, temos

*   x = k 2 y = - k 2 z = k 2

Substituindo x , y e z em S , temos

S = k 2 2 + 2 - k 2 2 + 3 k 2 2 = 1

k 2 4 + k 2 2 + 3 k 2 4 = 1

Simplificando a equação multiplicando os dois lados por 4

k 2 + 2 k 2 + 3 k 2 = 4

6 k 2 = 4

k 2 = 2 3

Logo, k é igual a

k = ± 2 3

Está acompanhando? 👀

Passo 5

Por fim, vamos obter os pontos que pertencem a S !

Substituindo k em * , vamos obter os pontos que queremos

Para k = 2 3

P 1 = x = 2 3 2 y = - 2 3 2 z = 2 3 2 = x = 1 6 y = - 1 6 z = 1 6

Agora se k = - 2 3 , temos

P 2 = x = - 2 3 2 y = - - 2 3 2 z = - 2 3 2 = x = - 1 6 y = 1 6 z = - 1 6

Com isso, encontramos os dois pontos que satisfazem nosso probleminha! P 1 = 1 6 , - 1 6 , 1 6 e P 2 = - 1 6 , 1 6 , - 1 6 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

P 1 = 1 6 , - 1 6 , 1 6 e P 2 = - 1 6 , 1 6 , - 1 6

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