Considere
- Exiba todos os pontos críticos de e explicite o gradiente de .
- Classifique os pontos críticos de e explicite a matriz hessiana de
- Seja
- Seja
Determine o valor máximo e o valor mínimo de restrita à .
Determine o valor máximo global e o valor mínimo global de restrita a . Explicite os pontos onde o máximo e mínimo são assumidos e diga se são pontos do interior ou da fronteira de .
Passo 1
Calculando o gradiente:
Passo 2
Encontrando os pontos críticos:
Igualando as coordenadas:
Da primeira equação, temos
Substituindo na segunda equação,
Ou
Assim,
Ou
Assim, os pontos críticos são
Passo 3
Agora vamos classificar esses pontos críticos.
Calculando derivadas segundas:
Passo 4
Calculando a matriz hessiana :
E essa aí é nossa matriz hessiana genérica. Vamos agora classificar cada um dos pontos críticos.
Passo 5
Começando pelo ponto :
Assim, é ponto de sela.
Agora vamos classificar o ponto :
Vamos precisar analisar o sinal de também.
Assim, é ponto de mínimo.
Por fim, vamos para :
Vamos precisar analisar o sinal de também.
Assim, também é ponto de mínimo.
Passo 6
Aqui, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, com a restrição de
O gradiente de nós já temos do passo 1:
Então, falta calcular o gradiente de :
Passo 7
Agora sim, aplicando o método:
Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:
Passo 8
Considerando e diferentes de zero e isolando na primeira e segunda equação, podemos dizer que
Substituindo isso na última equação:
Logo
Então, temos os seguintes pontos candidatos a máximo e mínimo de restrita à
Que são todas as combinações possíveis com os sinais de e .
Passo 9
Agora pra descobrir quem é o máximo e quem é o mínimo, é só a gente testar substituindo na função.
Assim, é o valor máximo de restrita a e é o valor mínimo de restrita á .
Passo 10
Agora queremos saber os valores máximo e mínimo de restrita à , onde
SENU QUE
A gente já calculou os pontos de máximo e mínimo de no espaço todo, na letra e já calculou os valores máximo e mínimo de restrito à
OU SEJE, bem na fronteira de .
Quer dizer, a gente já calculou tudinho tudinho. Não tem quase nada pra calcular aqui na letra .
A gente só precisa mesmo é dizer, dentre todos os pontos e consequentemente valores que temos, qual é o maior de todos e qual é o menor de todos e se ele ocorre dentro de , isto é, em
Ou na fonteira de , isso é, em
Passo 11
Então vamos lá.
Na letra achamos que os pontos e são pontos de mínimo.
Esses pontos estão no interior de , pois
E nesses pontos a função vale
Já na letra , achamos que na fronteira, tínhamos
Portanto, é o valor mínimo da função, assumido nos pontos de interior e e é o valor máximo da função, assumido nos pontos de fronteira e .
Resposta
Os pontos críticos são
.
é ponto de mínimo.
é ponto de mínimo.
é o valor máximo de restrita a e é o valor mínimo de restrita á .
é o valor mínimo da função, assumido nos pontos de interior e e é o valor máximo da função, assumido nos pontos de fronteira e .