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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFAM– Cálculo 2 – PF – Questão 1a

Determinar os valores da função f x , y , z = x y z 3 sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 3 e classifique-os como máximo ou mínimo.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou fazer junto com você! O problema nos deu essa função aqui

f x , y , z = x y z 3

E pediu para determinar os pontos dessa função que estão sobre a esfera de equação

x 2 + y 2 + z 2 = 3

Que são pontos de máximos e mínimos

Mas calma, quando você vir um problema que dá uma função e pede pontos de máximo e mínimo em uma restrição (no nosso caso pontos sobre a esfera) você precisa lembrar imediatamente de: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

A função a ser minimizada/maximizada é a f ( x , y , z ) :

f x , y , z = x y z 3

E a restrição (só jogar todo conjunto para um mesmo lado e igualar a zero):

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

E aplicar a técnica dos multiplicadores!

Vamos revisar passo a passo?

  • Achar os pontos críticos fazendo ∇ f = 0
  • Calcular ∇ g
  • Montar um sistema com ∇ f = λ ∇ g e com a restrição x 2 + y 2 + z 2 = 3
  • Encontrar os pontos que satisfazem esse sistema
  • E avaliar os pontos para saber qual é o máximo e qual é o mínimo

    • Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

    Passo 2

    Começando por calcular os gradientes. Primeiro de f ( x , y , z ) :

    f x , y , z = x y z 3

    ∇ f = y z 3 x y z - 2 / 3 ,   x z 3 x y z - 2 / 3 ,   x y 3 x y z - 2 / 3

    Agora vamos calcular ∇ g :

    g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

    ∇ g = ( 2 x ,   2 y , 2 z )

    Passo 3

    Agora vamos montar nosso sistema de equações:

    ∇ f = λ ∇ g

    y z 3 x y z - 2 / 3 ,   x z 3 x y z - 2 / 3 ,   x y 3 x y z - 2 / 3 = λ ( 2 x ,   2 y , 2 z )

    Igualando as componentes temos um sistema

    y z 3 x y z - 2 / 3 = λ 2 x x z 3 x y z - 2 / 3 = λ 2 y x y 3 x y z - 2 / 3 = λ 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 3

    Agora #partiu resolver esse sistema!

    Igualando os λ das duas primeiras equações:

    y z 3 x x y z - 2 / 3 = x z 3 y x y z - 2 / 3

    Simplificando temos:

    x 2 = y 2

    E daqui temos:

    y = ± x

    Podemos repetir esse mesmo raciocínio para igualar a primeira e a terceira equações:

    y z 3 x x y z - 2 / 3 = x y 3 z x y z - 2 / 3

    x 2 = z 2 ∴ z = ± x

    E agora vamos substituir esse x na restrição:

    x 2 + y 2 + z 2 = 3

    x 2 + x 2 + x 2 = 3

    3 x 2 = 3

    x 2 = 1

    x = ± 1

    Tranquilo até aqui?

    Daqui temos um total de 8 pontos, já que podemos ter todas as combinações (2 sinais com 3 variáveis) mais todo ponto negativo e todo ponto positivo:

    P 1 ( 1,1 , 1 )

    P 2 - 1 , - 1 , - 1

    P 3 ( 1 , - 1 , - 1 )

    P 4 ( 1,1 , - 1 )

    P 5   ( - 1,1 , 1 )

    P 6 ( - 1 , - 1,1 )

    P 7 ( - 1,1 , - 1 )

    P 8 1 , - 1 , - 1

    Beleza?

    Passo 5

    Nossa última missão é avaliar esses pontos na função e aí verificar qual deles vai assumir o maior/menor valor:

    Os pontos são

    P 1 ( 1,1 , 1 )

    P 2 - 1 , - 1 , - 1

    P 3 ( 1 , - 1,1 )

    P 4 ( 1,1 , - 1 )

    P 5   ( - 1,1 , 1 )

    P 6 ( - 1 , - 1,1 )

    P 7 ( - 1,1 , - 1 )

    P 8 1 , - 1 , - 1

    A função é

    f x , y , z = x y z 3

    Note que temos um produto das componentes dentro da raiz, e como as componentes podem ser -1 ou 1, o resultado dessa raiz será:

  • + 1 (quando todas as componentes tiverem mesmo sinal OU quando duas forem negativas) ou
  • - 1 (quando duas forem negativas/positivas e a terceira negativa)

Assim teremos um máximo nos pontos:

f P 1 = f P 6 = f P 7 = f P 8 = 1

E um mínimo nos pontos:

f P 2 = f P 3 = f P 4 = f P 5 = - 1

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

m á x i m o :   f P 1 = f P 6 = f P 7 = f P 8 = 1

m í n i m o :   f P 2 = f P 3 = f P 4 = f P 5 = - 1

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