Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função
Com a restrição
Conclua que
Passo 1
Calcular gradiente da função:
Passo 2
Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:
Passo 3
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 4
Calcular gradiente de :
Passo 5
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 6
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Passo 7
Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:
Equação da curva:
Passo 8
Resolver o sistema:
Multiplicando cada uma das equações pela variável que ‘falta’, temos:
Somando as 3 primeiras equações:
Mas, da ultima equação, sabemos que:
Assim:
Repare que se , então uma das 3 variáveis deve ser nula. E, se uma das três variáveis for nula, nossa função também será nula para esse valor e, assim, ele não pode ser o valor de máximo que estamos procurando.
Dessa forma, concluímos que .
Substituindo nas três primeiras equações do nosso sistema, ficamos com
Assim,
Passo 9
Substituir o ponto encontrado:
Ok, então é nosso ponto de máximo e é o valor máximo da função.
Passo 10
Agora vamos ver se isso bate com a desigualdade que a questão falou:
Sendo o valor máximo da função, isso significa que
Mas, da restrição, temos que
Assim:
Resposta
O valor máximo da função é .