Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 9
(Capítulo 14.8 – Exercício 9) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
A questão pede para acharmos os extremos da função sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!
A restrição pode ser escrita como
Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação
Calculando os gradientes:
Então boraaa
Passo 2
Temos que resolver essa equação:
Desta forma,
Isolando, obtemos
De , temos
De , temos
Substituindo ambos na restrição, achamos . Qualquer que seja o sinal de , teremos e .
Os possíveis extremos são , , e
Como é o produto das 3 coordenadas, é máxima se todas as coordenadas forem positivas ou se exatamente duas forem negativas, e é mínima se todas ou somente uma coordenada for negativa.
E fimmm!
Resposta
, , e