UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 12.
12 - Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função sujeita aos vínculos e .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Temos algo um pouco diferente nessa questão. Foi dada uma função e devemos calcular os máximos e mínimos dessa função que estão vinculados às equações e .
A gente sabe calcular os máximos e mínimos quando temos uma função e um vínculo, mas com dois vínculos é novidade.
E agora? O que faremos?
Relaxa, pra resolver essa questão, vamos usar multiplicadores de Lagrange, só que no caso, vamos adicionar um multiplicador.
Se chamarmos as equações de vínculo de e , vamos obter
Onde e são nossos multiplicadores.
Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os gradientes de , e para formular nossa equação
Como é um polinômio que descreve uma esfera, vamos obter suas derivadas por maio da derivação polinomial onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente. Em cada derivada, podemos ignorar as outras variáveis pois não temos a variável de derivação para derivar
Logo o gradiente de é
Vamos obter o gradiente de pelo mesmo método do gradiente de
Com isso, o gradiente de é
Por fim, o gradiente de vai ser obtido da mesma forma. Vamos simplificar a função antes
Agora sim.
O gradiente de é dado por
Tranquilo até aqui? 👀👀
Passo 3
Substituindo esses resultados na nossa formulinha que apresentamos lá no início, temos
Depois disso, vamos criar um sistema formado pelas equações que obtemos nessa equação vetorial e pelas equações de vínculo.
Perceba que o lado direito das equações 1 e 3 são as mesmas, então podemos igualar elas e encontrar que
Substituindo esse resultado na última equação, temos
Substituindo esse resultado na quarta equação, vamos obter
Com isso, encontramos apenar um ponto
E aí? Como vamos dizer se ponto é de máximo ou mínimo?
Passo 4
Lembra do teste da segunda derivada? Então, vamos usa-la pra determinar se é um ponto máximo ou é um ponto mínimo.
No caso, como estamos em , nosso determinante vai ser um pouquinho diferente
Lembrando que , e .
Com isso, podemos afirmar que as derivadas mistas , , , , e vão ser , já que em não temos e pra derivar, em não temos e e não tem e .
Lembrando que se o resultado do determinante e forem positivos, o ponto é um ponto de mínimo. Se o determinante for positivo e for negativo, o ponto é um ponto máximo e se o determinante for negativo, o ponto não é nem de máximo nem de mínimo.
Vamos obter as segundas derivadas pelo mesmo método que derivamos as primeiras derivadas.
Com isso, o determinante é dado por
é positivo assim como o determinante, logo o ponto é um ponto mínimo!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
ponto mínimo.