23. Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de em .
, sujeito à .
Passo 1
Vamos começar encontrando os extremantes de no conjunto admissível: . Para isso, utilizamos os multiplicadores de Lagrange.
Vamos calcular gradiente da função:
Passo 2
Agora vamos pegar a equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo, deixando zero no lado direito:
Portanto:
Passo 3
Calcular gradiente de
Passo 4
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Igualando termo a termo:
Passo 5
Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima
Equação da curva:
Adicionando ao sistema encontrado acima:
Passo 6
Agora vamos resolver as equações. Da primeira equação, temos duas possibilidades:
- Caso 1:
- Caso 2:
Da segunda equação temos:
Caso 1.1
Da quarta equação temos:
Portanto, temos os pontos:
Caso 1.2
Da terceira equação temos:
Temos:
Da quarta equação:
Portanto temos os pontos:
Da segunda equação, temos:
Logo:
Da terceira equação:
Logo:
Da quarta equação:
Então temos os pontos:
Passo 7
Então:
Logo, a função , sujeito à , tem ponto de mínimo em , e tem ponto de máximo em .
Passo 8
Vamos procurar agora extremantes em todo . Encontrando os pontos críticos, temos:
Temos o ponto crítico:
Logo . Perceba que
Logo, o ponto é ponto de mínimo global.
Resposta
Mínimo de em ; Máximo de em . Sem a restrição, o único ponto crítico de é , que é um ponto de mínimo global.