Seja uma constante real. Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função

na esfera

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:

Calcular gradiente de :

Utilizar multiplicador de Lagrange:

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

Dividindo por todas as equações e jogando tudo para o lado esquerdo:

Colocando algumas coisas em evidência:

Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:

Equação da superfície:

Resolver o sistema:

Vamos supor que são diferentes de zero. Assim, pelas três primeiras equações, temos que

Ou seja:

Como supomos que , , são diferentes de zero, então, pelas equações acima, temos que também!

Então podemos dividir a primeira equação pela segunda, termo a termo:

Simplificando os dois lados:

Multiplicando cruzado:

Dividindo, agora, a segunda equação pela terceira, termo a termo:

Simplificando e multiplicando cruzado:

Agora temos e em termos de . Vamos substituir na última equação:

Substituindo:

Pronto! Descobrimos o valor de . Agora é só voltar e substituir para encontrar e :

Substituindo em :

Substituindo em :

Show! Temos, agora, os valores de , e :

Agora é só tirar as raízes quadradas:

Ótimo! Mas isso se todas incógnitas forem diferentes de zero, lembra?

Se ou ou , perceba que a nossa função seria

Certo? Se, pelo menos uma dessas variáveis for zero, a função zera!

Vamos supor que agora.

Substituindo no sistema:

Então, pelas três primeiras equações, temos que pelo menos uma das variáveis , e precisa ser igual a zero.

Pronto! Nem precisa fazer mais nada! Temos o mesmo caso: se, pelo menos uma variável for zero, então a função zera! De novo, teríamos que

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

Nos casos em que , , ou , vimos que

Agora precisamos analisar para os pontos que encontramos antes:

Perceba que temos oito pontos:

Oito porque temos duas opções de sinal para cada coordenada, certo?

Substituindo:

Então, encontramos que pode ser , e .

Como , logo, o valor máximo é .

Portanto, o valor mínimo é .