Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Ele quer o ponto com a menor distância, logo a distância até a origem é a função que ele quer minimizar.
A distância até a origem é:
Mas em vez de tentar minimizar isso, vamos minimizar o quadrado dessa distância, para não termos que trabalhar com raízes.
Agora que temos a função, precisamos da restrição, que vai ser nossa superfície. Para usar a Lagrange, precisamos fazer:
Agora podemos montar nossas equações e achar os pontos que minimizam na restrição, usando Lagrange:
Passo 2
Para começar, vamos calcular o gradiente para e para .
Passo 3
Fazendo , chegamos no sistema:
Lembrando que a gente coloca a equação da restrição no sistema:
Olhando para segunda equação, temos dois casos:
Vamos avaliar esses casos.
Passo 4
Caso 1:
Na quarta equação, se ,
Se a gente multiplicar a primeira equação por e terceira por , os termos da direita ficam iguais para as duas equações. Fica assim nosso sistema:
Igualando a primeira e a terceira equação:
Elevando a quarta equação ao quadrado e substituindo :
Como :
( e precisam sempre ter sinais opostos)
Logo, aqui achamos os pontos:
Passo 5
Caso 2:
O nosso sistema fica:
Da primeira equação, temos:
Substituindo na terceira:
Substituindo esses valores na quarta equação:
Logo, achamos os pontos:
Passo 6
Agora, o que a gente precisa fazer é substituir esse pontos em e ver para qual deles ela resulta no menor valor.
Logo, os pontos mais próximos da origem que pertencem a superfície são e .