Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 8
(Capítulo 14.8 – Exercício 8) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
A questão pede para acharmos os extremos da função sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!
A restrição pode ser escrita como
Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação
Calculando os gradientes:
Então boraaa
Passo 2
Temos que resolver essa equação:
Desta forma,
Isolando , e em função de :
Substituindo essas relações na restrição:
Assim, temos apenas um candidato a extremo de sujeito a restrição:
Desta forma, não é possível analisar se ele é máximo ou mínimo! Note que, neste caso, a região que estamos estudando não é limitada: trata-se de um plano infinito! Assim, não podemos aplicar o teorema do valor extremo para garantir a existência de extremos!
De fato, isolando , encontramos
Essa função não tem máximo, porém apresenta um mínimo em ! Assim, é mínimo absoluto de sujeita à restrição. Todavia, não existe um máximo!
Resposta
Não tem máximo