Determinar os extremos da função sobre a curva

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

Já está!

Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:

Calcular gradiente de :

Utilizar multiplicador de Lagrange:

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva:

Completando quadrados:

Logo:

Colocando algumas coisas em evidência:

Jogando as duas primeiras equações para o lado esquerdo:

Resolver o sistema:

Essa é a parte mais Mandrake da história. Muitas vezes temos que dar uma olhada atenta na forma mais simples de resolver.

Pela primeira equação, temos que

ou

1ª hipótese: :

Pela segunda equação:

E pela terceira equação:

Portanto ou

Então dois pontos satisfazem essa hipótese:

2ª hipótese:

Pela terceira equação:

Portanto ou

Então outros dois pontos satisfazem essa segunda hipótese:

Substituir pontos encontrados:

Antes de tudo, podemos completar quadrados na expressão da função para facilitar as contas:

Substituindo :

Substituindo :

Substituindo :

Substituindo :

Verificar quais são os pontos de máximo e mínimo:

Notemos que

Logo, os pontos e são pontos de mínimo e os pontos e são pontos de máximo.