24. Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de em .
, sujeito à .
Passo 1
Vamos começar encontrando os extremantes de no conjunto admissível: .
Vamos calcular gradiente da função:
O único ponto crítico da função é
Passo 2
Agora vamos pegar a equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo, deixando zero no lado direito:
Portanto:
Passo 3
Calcular gradiente de
Passo 4
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Igualando termo a termo:
Passo 5
Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima
Equação da curva:
Adicionando ao sistema encontrado acima:
Passo 6
Agora vamos resolver as equações. Fazendo a segunda equação menos a primeira, temos:
Então temos:
Temos dois casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Da terceira equação temos:
Portanto, temos os pontos:
Da primeira equação, temos:
Logo:
Da terceira equação:
Logo, temos os pontos:
Passo 7
Então:
Logo, a função , sujeito à , tem ponto de mínimo em , e tem ponto de máximo em .
Passo 8
Sem a restrição, o único ponto crítico de é , que é um ponto de mínimo local e global pois e .
Resposta
Mínimo de em ; Máximo de em e . Sem a restrição, o único ponto crítico de é , que é um ponto de mínimo global.