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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Exercício 271234567891011121314151617181920212223242526282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Tres números positivos x , y , z   satisfazem a relação

x + 2 y + z = 60

O maior valor possível para o produto x y z é:

  1. 4000
  2. 5000
  3. 2000
  4. 1000
  5. 1024

Passo 1

Queremos maximizar a função produto

f x , y , z = x y z

Com a restrição

x + 2 y + z = 60

Isso quer dizer que precisamos usar o bom e velho método dos multiplicadores de lagrange.

Passo 2

Nossa função é

f x , y , z = x y z

Seu gradiente é

∇ f = ( y z , x z , x y )

Nossa restrição é

x + 2 y + z = 60

⇒ g x , y , z = x + 2 y + z - 60 = 0

Seu gradiente é

∇ g = ( 1,2 , 1 )

Passo 3

Show, agora, é só dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

( y z , x z , x y ) = λ 1,2 , 1

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

y z = λ . 1 x z = λ . 2 x y = λ . 1 x + 2 y + z = 60  

E temos esse sisteminha aí pra resolver.

Passo 4

Vamos multiplicar a primeira equação por x , a segunda por y e a terceira por z :

x y z = λ x x y z = 2 λ y x y z = λ z x + 2 y + z = 60

Agora podemos igualar as 3 primeiras equações do sistema e ficamos com:

λ x = 2 λ y = λ z

Cortando todos os λ :

x = 2 y = z

E se a gente olhar pra última equação, isso é exatamente o que temos lá. Assim, se a gente quiser, podemos chamar tudo de uma coisa só, por exemplo, imagine que a gente diga que:

x = 2 y = z = u

Então

x + 2 y + z = 60

u + u + u = 60

3 u = 60

u = 20

Passo 5

Agora só falta a gente descobrir os valores de x ,   y ,   z isoladamente pra poder fazer o produto entre entres e descobrir a resposta da questão. Bora lá então.

x = u = 20

2 y = u = 20 ⇒ y = 10

z = u = 20

E, portanto, o produto

x y z = 20 ∙ 10 ∙ 20 = 4000

Resposta

Letra a

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