Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de

Na esfera

Pegar a equação da superfície e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito. Essa será nossa função :

Seu gradiente vai ficar:

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

Resolvendo o sistema, pela equação temos

e pela equação :

Repare que não podemos ter e ao mesmo tempo porque senão pela teríamos e pela . Então vamos ter 3 possibilidades:

• e
• e

Vamos olhar caso por caso!

Começando pelo primeiro

Se , a equação fica:

Vamos testar se esses valores condizem com a equação :

Caso :

E caso :

Tudo certo! :)

Assim, obtemos 2 pontos candidatos: os pontos e .

Agora vamos ao segundo caso.

Se e :

Pela equação temos .

Então, substituindo isso na equação ela fica:

Substituindo na :

Mais 2 candidatos! Os pontos e .

• Agora é a última possibilidade! Se e :

Pela equação temos . Substituindo isso na encontramos:

Agora vamos achar o com a equação . Para isso, é só substituir nela. Encontramos:

Logo, os nossos últimos 2 candidatos são os pontos e .

Recapitulando, achamos os pontos

, , , , ,

Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

, , , , ,

Portanto, os pontos de máximo e mínimo de , restrita à esfera , são os pontos (máximo), e e (mínimo).