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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

Multiplicadores de Lagrange

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 2 + 2 y 2 - x ,

no conjunto D = x , y ∈ R 2   : x 2 + y 2 ≤ 1 .

Passo 1

O conjunto D nada mais é que um disco de raio 1 centrado na origem! Se a equação x 2 + y 2 = 1 é pra um círculo, trocando o " = " pelo " ≤ " obtemos um disco.

Bem, já que esse é um problema de máximos e mínimos vamos começar calculando os pontos críticos da f , ok? Pra isso precisamos das derivadas parciais da f :

f x , y = x 2 + 2 y 2 - x

∂ f ∂ x x , y = 2 x + 0 - 1 = 2 x - 1

∂ f ∂ y x , y = 0 + 4 y - 0 = 4 y

E agora precisamos igualar essas derivadas parciais a 0 :

∂ f ∂ x x , y = 2 x - 1 = 0

⇒   x = 1 2

∂ f ∂ y x , y = 4 y = 0

⇒ y = 0

Portanto, f tem um ponto crítico dentro do disco: o ponto ( 1 2 , 0 ) .

Passo 2

Agora vamos nos concentrar na fronteira do conjunto D , que é o círculo de equação x 2 + y 2 = 1 . Aliás, vamos chamar esse círculo de g x , y que fica mais fácil. Assim:

g x , y = x 2 + y 2 - 1

E a equação do círculo vira:

g x , y = 0

Pronto, preparamos bem o terreno, agora podem vir os multiplicadores de Lagrange :)

Devemos encontrar os pontos ( x , y ) tais que:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

O gradiente de g é tranquilo de calcular e vai ficar assim:

∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Lembrando que:

∇ f x , y = ( 2 x - 1 ,   4 y )

Portanto, o nosso sistema final vai ser:

2 x - 1 = λ 2 x     ( 1 ) 4 y = λ 2 y     ( 2 ) x 2 + y 2 - 1 = 0     ( 3 )

Passo 3

Vamos dar uma olhada na equação (2):

4 y = λ 2 y

⇒ λ = 2     o u     y = 0

  • Se λ = 2 , a equação (1) vai ficar assim:

    • 2 x - 1 = 4 x

    - 1 = 2 x

    x = - 1 2

    E, com a equação (3):

    - 1 2 2 + y 2 - 1 = 0

    y 2 = 1 - 1 4 = 3 4

    y = ± 3 2

    O que nos dá os pontos ( - 1 2 , 3 2 ) e ( - 1 2 , - 3 2 ) .

  • Se y = 0 , pela equação (3) vamos ter:

    • x 2 = 1

    x = ± 1

    Assim, obtemos os pontos 1,0   e ( - 1,0 ) .

    Passo 4

    Então temos 5 candidatos a pontos de máximo e mínimo de f x , y = x 2 + 2 y 2 - x

    no conjunto D : os pontos ( 1 2 , 0 ) ; ( - 1 2 , 3 2 ) ; ( - 1 2 , - 3 2 ) ; 1,0   e ( - 1,0 ) .

    Agora basta calcular o valor de f em cada ponto e ver qual é o máximo e qual é o mínimo :)

  • f 1 2 , 0 = 1 4 + 0 - 1 2 = - 1 4
  • f - 1 2 , 3 2 = f - 1 2 , - 3 2 = 1 4 + 2 . 3 4 + 1 2 = 9 4
  • f 1,0 = 1 + 0 - 1 = 0
  • f - 1,0 = 1 + 0 + 1 = 2

Portanto, o mínimo absoluto de f no disco D é - 1 4 , no ponto ( 1 2 , 0 ) , enquanto o máximo é 9 4 , obtido nos pontos ( - 1 2 , 3 2 ) e ( - 1 2 , - 3 2 ) .

Resposta

Mínimo: - 1 4 , no ponto ( 1 2 , 0 )

Máximo: 9 4 nos pontos ( - 1 2 , 3 2 ) e ( - 1 2 , - 3 2 ) .

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