UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2015.2, questão 5
Uma empresa de serviço de entrega restringe as dimensões do pacote a caixas retangulares tais que o comprimento mais o dobro da largura mais o dobro da altura não pode exceder 108 centímetros. Quais são as dimensões do pacote com maior volume que a empresa entrega?
Passo 1
Primeiro de tudo, vamos dar nomes aos bois.
Se chamarmos o comprimento da caixa de , a largura de e a altura de , temos que o volume da caixa é
Que é a função que queremos maximizar.
Porém, a empresa restringe as dimensões da caixa tais que
O que a questão pede então é que maximizemos a função volume com uma restrição .
Não sei você, mas isso tem muita cara de Multiplicadores de Lagrange pra mim.
Vamos lá então.
Passo 2
Mas, como nem tudo são flores, não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “”, e não “”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.
O gradiente de é:
Igualando a zero:
Isso é verdade se
Ou
Assim, o valor da função em qualquer ponto crítico é sempre zero. Assim, os pontos de máximo encontram-se na fronteira da região.
Aí sim podemos usar os multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
A fronteira da região é definida por:
Jogando tudo pra esquerda:
Chamamos isso de :
Calculamos o seu gradiente:
Passo 4
Ótimo, agora precisamos dizer que os gradientes são paralelos. Assim:
Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:
Passo 5
Resolvendo esse sistema, temos que, da segunda e terceira equação,
Substituindo isso na primeira equação
Porque é a largura da caixa, então, é sempre positivo.
Voltando a terceira equação, chegamos a
Racionalizando, temos
Finalmente, jogando
Na equação da restrição, ficamos com
Assim
E essas são as dimensões do pacote!
Resposta
As dimensões do pacote são