UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 8
A distância entre o ponto e o plano é igual a:
Passo 1
Queremos a menor distância entre o plano e o ponto , ou seja, queremos minimizar a distância , sujeito a restrição .
Passo 2
Vamos calcular gradiente da função:
Fazendo as derivadas parciais, vamos ter
Passo 3
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 4
Calcular gradiente de :
Passo 5
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 6
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Passo 7
Adicionar a equação do plano ao sistema encontrado acima:
Equação do plano:
Passo 8
Então:
Substituindo na equação do plano:
Ajeitando:
Então:
Logo:
Passo 9
Substituindo em temos:
Resposta
Letra
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