Seja o gráfico da função
a) Exiba um ponto , ta que o plano tangente à neste ponto é paralelo ao plano dado por
b) Seja
i) Determine os pontos dp traço de onde a reta tangente é vertical, isto é, paralela ao eixo
ii) Exiba a parametrização da curva
tal que o traço de está contigo no gráfico (superfície ) e a projeção ortogonal de no plano é a curva . Explicite e calcula
iii) Escreva o vetor velocidade da curva em e exiba a equação paramétrica da reta tangente à em
Passo 1
Questão a:
O enunciado fala pra gente que . Quando ele não fala nada sobre a terceira variável, primeiro precisamos chamar de , isolar tudo de um mesmo lado da equação e igualar a .
Passo 2
O enunciado fala que o plano tangente a função em um ponto é paralelo ao plano . Para que isso ocorra é preciso que o vetor normal ao plano tangente a S seja paralelo ao vetor normal ao plano . Como o vetor normal a uma função ou a um plano é o vetor gradiente temos:
Então vamos ter:
Agora só igualar cada variável:
Tiramos da terceira equação que portanto e . Além disso, sabemos que , logo:
Logo temos o ponto .
Passo 3
Questão b
i)
A primeira coisa a ser lembrada aqui é que o eixo pode ser representado pelo vetor , ou qualquer outro múltiplo desse vetor, portanto a reta tangente a deve ser paralela a esse vetor. Vamos começar achando a reta tangente à . Para isso basta derivar o vetor posição
Agora precisamos descobrir para qual valor de t esse plano tangente é paralelo à . Para que isso aconteça é preciso que um seja múltiplo do outro, logo:
Portanto o momento que isso ocorre é em e . Como ambos os pontos então dentro da restrição que o enunciado deu pra gente vamos jogar de volta na equação para achar os pontos
Passo 4
ii)
Como a projeção ortogonal de no plano é a curva vamos ter que:
Além disso, como o traço de está contido no gráfico de temos:
No enunciado ele pede , então é só substituir:
Além disso, ele pede para acharmos o intervalo no qual a função varia. Como a função não possuiu nenhuma restrição, e é a única que possui restrição, vamos ter que a restrição de é igual a de , ou seja, . Portanto e
Passo 5
iii)
Para isso basta derivar o vetor posição em :
Além disso, o enunciado ainda pede a equação da reta parametrizada. Ela pode ser escrita da seguinte maneira:
iV)
Para acharmos a equação do plano tangente a S em qualquer ponto basta sabermos o seguinte:
Onde é um vetor normal ao plano.
Como sabemos que o vetor gradiente é um vetor normal ao plano, portanto:
Organizando melhor a equação temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)