Encontre os pontos da superfície
Mais próximos da origem.
Passo 1
Queremos achar os pontos da superfície dada que estão mais perto do ponto , ou seja, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, dada por
Restrita a equação da superfície
Vamos usar então os multiplicadores de Lagrange!
Mas, antes de partirmos pro “vamô vê”, vamos pensar o seguinte: essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:
Agora sim, vamos lá.
Passo 2
Vamos começar calculando os gradientes.
A função que define a restrição é
Passo 3
Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:
Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, da segunda equação, considerando , temos
Substituindo na primeira e terceira equações:
ou
Substituindo na equação da restrição
E
Igualando as duas equações
Dai a gente tira que
E, consequentemente,
Ou
Ainda não temos o valor de , só sabemos que ele é diferente de zero. Assim, precisamos ainda substituir na equação da restrição:
Temos, portanto, os pontos candidatos:
Passo 5
Testando na função , temos
Como esse é o único valor que encontramos para a função e estamos buscando os pontos onde a distância é mínima,, então esse só pode ser o valor mínimo para .
Assim, os pontos onde a distância é mínima são os pontos