Multiplicadores de LaGrange
Encontre os pontos da elipse mais próximos e mais distantes da origem.
Passo 1
Vamos lá, primeiro interpretemos o que a questão pede. Temos que descobrir quais pontos estão mais perto e mais longe da origem. Ou seja, existe uma “função distância” que deve ser maximizada e minimizada. Mas existe algo restringindo essa nossa função, que é a equação a elipse, dada no enunciado.
Então esse é se resume a um típico problema de LaGrange, que tem uma função que será maximizada ou minimizada, e outra que restringe essa tal função –o que realmente faz sentido, por que se não existisse essa restrição, o ponto mais longe da origem seria qualquer um no infinito, e o mais perto estaria tendendo à origem!
Dito isso, vamos definir nossa função distância, por que sem ela, não maximizamos nada! Veja só, todos os pontos no são definidos por componentes retangulares em relação ao eixo e ao eixo . Assim, a distância entre um ponto e a origem sempre pode ser obtida por Pitágoras, dizendo que essa distância ao quadrado é igual a uma componente ao quadrado mais a outra ao quadrado:
Pois sempre podemos formar triângulos retângulos com as componentes do ponto e o segmento . Assim,
Passo 2
Beleza, agora que temos essa função, vamos montar a relação de LaGrange:
Em que , a equação da elipse.
Passo 3
Precisamos, então encontrar as derivadas parciais da elipse e da função distância, para formar seus vetores gradiente.
Derivando em relação a teremos:
Derivando em relação a teremos:
E o vetor gradiente é:
Passo 4
Agora vamos encontrar as derivadas parciais da elipse.
Derivando em relação a , temos:
Derivando em relação a , temos:
E o vetor gradiente fica:
Passo 5
Agora que temos os vetores gradientes, podemos montar o sistema:
Como o lado esquerdo das duas primeiras equações é praticamente igual, só muda o numerador, e é um ótimo negocio eliminarmos o , pra ter duas equações com duas incógnitas, então vamos multiplicar a primeira equação por e a segunda por . Dessa forma, teremos os dois lados esquerdos iguais e cancelaremos o ! Olha só:
Passo 6
Partiu agora resolver esse sistema! Como temos o mesmo lado esquerdo para as duas primeiras equações, podemos igualar os lados direitos:
Desenvolvendo melhor,
Cortando esse ,
E aí está! Encontramos a relação que precisávamos. Cuidado agora, somente, pois e estão ao quadrado. Isso quer dizer que o módulo deles é o mesmo, mas não que sejam necessariamente iguais. Assim,
ou
Passo 7
Colocamos essas duas opções na terceira equação, que vai fornecer realmente os valores para as variáveis. Colocando , teremos:
Como optamos por , então temos dois pontos, e
Passo 8
Agora vamos colocar a relação , ou melhor :
E como escolhemos a relação os pontos são e
Passo 9
Show! Agora que temos os nossos pontos, só jogar na equação da distância:
Como e estão ao quadrado, tanto faz os sinais de ou .
Para os pontos e , temos:
E para os pontos e , temos:
E chegamos ao final de mais uma questão :D como o valor encontrado para os dois primeiros pontos é menor que para os dois últimos, temos que os primeiros são os pontos mais perto da origem e os últimos são os mais distantes.
Resposta
e são os pontos mais perto da origem e e são os mais distantes.