O valor mínimo absoluto da função na região é:

3. Nenhuma das demais alternativas

Para achar os pontos críticos de , precisamos calcular suas derivadas parciais e igualar cada uma a zero, formando um sistema para gente resolver.

Da primeira equação, . Na segunda, percebemos que independente de , se , sempre zera. Então a solução da equação é o conjunto de pontos dentro de .

Vamos tentar classificar esses pontos, usando o determinante Hessiano:

Ih deu zero. Então a gente não pode afirmar nada, não é? Mas não vamos desanimar. Como a gente sabe que são pontos críticos da função, vamos guardar eles para testar no final qual ponto (entre pontos dentro da região e na fronteira) vai resultar no menor valor de

Já analisamos dentro da região, agora a gente vai para a fronteira. Ela está definida por . Que vai ser nossa restrição da função para usarmos Lagrange. Podemos fazer:

Sabemos que:

Podemos então usar então o multiplicador de Lagrange para montar um sistema:

Nosso sistema fica com essa carinha (vamos colocar a equação da restrição no sistema também):

Então, para esse tipo de sistema cheio de termos elevados e produtos, uma coisa legal é tentar ver se a gente consegue fazer aparecer termos iguais nas duas primeiras equações multiplicando elas por uma variável. Olha só o que acontece se multiplicarmos a de cima por e a de baixo por :

Não apareceu o termo nas duas? Então a gente pode isolar ele:

Vamos igualar essas expressões para ver no que dá:

Achamos uma relação entre e . Podemos jogar na terceira equação para achar valores para e :

Pela relação entre e :

Achamos quatro pontos:

Por fim, a gente tem esses pontos:

Vamos testar eles em e vê o menor valor que ela pode atingir:

Com isso, o menor valor que a função atinge é . Que é nossa letra a.