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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 9.

9. Determine os valores extremos da função f x , y = x 2 + y com a restrição g x , y = x 2 + y 2 - 1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, nosso objetivo é obter os pontos de máximo e de mínimo da função f x , y = x 2 + y restrita à função g x , y = x 2 + y 2 - 1 .

Tem alguma ideia de como podemos obter esses pontos? 🤔🤔

Quando temos que obter os pontos extremos de uma função que está restrita a outra função, usamos os multiplicadores de Lagrange para nos ajudar.

Esse método consiste em igualar o gradiente da função ao produto do gradiente da restrição com o multiplicador de Lagrange λ . Por exemplo

∇ f = λ ∇ g

Igualando ∇ f a 0 , podemos verificar se dentro da restrição existe algum ponto crítico.

Podemos começar por aí! Bora lá? 😁

Passo 2

O vetor gradiente de uma função é composto pelas derivadas parciais dela

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Se f x , y = x 2 + y , então derivando f pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pelo expoente e subtraindo 1 na potência, temos

∂ f ∂ x = 2 x 2 - 1 + y 0 = 2 x

∂ f ∂ y = x 2 0 + y 1 - 1 = 1

Substituindo os resultados no gradiente de f ...

∇ f = 2 x , 1

Igualando a 0 , temos

2 x , 1 = 0,0 → 2 x = 0 1 = 0

Perceba que obtemos 1 = 0 , o que não é possível! Portanto f x , y não possui pontos críticos.

Logo, o que nos resta é obter os pontos críticos na interseção entre f x , y e g x , y .

Se f e g estão intersectados, então eles possuem a mesma imagem z .

Igualando f a g , vamos obter

f x , y = g x , y

x 2 + y = x 2 + y 2 - 1

Simplificando...

y 2 - y - 1 = 0

Portanto, essa é a equação que restringe os pontos que estamos interessados

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange para f e a nova equação de restrição y 2 - y - 1 = 0 ...

Calculando o gradiente dessa equação que vamos chamar de h , temos

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y

Calculando as derivadas parciais pelo método de derivação polinomial...

∂ h ∂ x = y 2 0 - y 0 - 1 0 = 0

∂ h ∂ y = 2 y 2 - 1 - y 1 - 1 - 1 0 = 2 y - 1

Então o gradiente de h será

∇ h = 0,2 y - 1

Aplicando o multiplicados aos gradientes...

∇ f = λ ∇ h

2 x , 1 = λ 0,2 y - 1

2 x = λ 0 1 = λ 2 y - 1 y 2 - y - 1 = 0

Na primeira equação, vemos que x = 0 e na segunda equação não conseguimos uma informação tão precisa

λ = 1 2 y - 1

Então nos resta obter as raízes da terceira equação para obter as componentes de y dos pontos extremos.

Entendeu essa parte? 👀

Passo 4

Pelo método de Bhaskara, as raízes de y 2 - y - 1 = 0 são dados por

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Se a = 1 , b = - 1 e c = - 1 , então

y = - - 1 ± - 1 2 - 4 · 1 · - 1 2 1 = 1 ± 5 2

Ou seja, as raízes de y são

y 1 = 1 + 5 2 y 2 = 1 - 5 2

A combinação de x = 0 , y 1 = 1 + 5 2 e y 2 = 1 - 5 2 nos resulta nos pontos que vamos analisar como os pontos extremos.

P 1 = 0 , 1 + 5 2 P 2 = 0 , 1 - 5 2

Substituindo na função f , verificamos qual dos pontos terá a maior imagem e qual dos pontos terá a menor imagem, configurando a sim os pontos de máximo e mínimo, respectivamente.

Para P 1 , temos

f 0 , 1 + 5 2 = 0 2 + 1 + 5 2 = 1 + 5 2

Já para P 2 , temos

f 0 , 1 - 5 2 = 0 2 + 1 - 5 2 = 1 - 5 2

Com isso, vemos que temos apenas dois pontos críticos em f restrito a g . Sendo P 1 = 0 , 1 + 5 2 o ponto de máximo e P 2 = 0 , 1 - 5 2   o ponto de mínimo!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Máximo: P 1 = 0 , 1 + 5 2

Mínimo: P 2 = 0 , 1 - 5 2

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