Deseja-se construir uma caixa retangular de de volume. O custo do material a ser utilizado é de por para a tampa e para o fundo, por para um par de lados opostos e por para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

Agora vamos analisar o custo de construção da caixa.

Ele depende das dimensões e da caixa, então vamos chamá-lo de .

Esse custo total é a soma dos custos de cada lado da caixa, né? E cada par de lados tem seu preço de construção, e suas dimensões. Então vamos achar o custo de cada par de lados!

Tendo a figura aí de cima em mente, dá uma olhada nessa tabela:

Excelente! Então o custo total é a soma do custo de construção dos 6 lados:

Recapitulando, queremos o mínimo de com a restrição . Isso não só tá pedindo, como tá implorando pra gente usar Lagrange! :D

Vamos criar a função assim temos

Então agora é só calcular os gradientes de e , o que vai ser tranquilo pra craques de derivação parcial como nós:

e

Show! Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos

Acrescentando a condição , obtemos o sistema

Multiplicando a 1ª equação por , a 2ª por e a 3ª por , obtemos:

Logo:

Vamos separar essa equação em duas:

Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então , e . Considerando isso, pelas equação temos:

E a equação nos dá:

Ótimo! Então usando a restrição obtemos

Então para e temos:

Só achamos uma solução: . Então esse é o ponto que minimiza o custo de construção da caixa.