1. Vamos começar encontrando as derivadas parciais de e igualando-as a zero.

Fazendo e , temos:

Ainda temos:

Portanto, temos os pontos críticos:

Passo 2

Então, vamos usar o teste da segunda derivada para classifica-los. Calculando as derivadas de segunda ordem:

Passo 3

Agora sim, vamos aplicar o teste da derivada segunda:

Como , o ponto é de mínimo local. Fazendo o mesmo para :

Logo, o ponto é ponto de sela.

Passo 4

2. Vamos usar os multiplicadores para resolver esse item. Já vimos que o gradiente de é:

Ajeitando a restrição, temos:

Calculando o gradiente de , temos:

Passo 5

Vamos ter o seguinte sistema de equações:

Da equação , temos:

Dois casos:

Caso 1:

Da equação :

Portanto, temos os pontos:

Passo 6

Caso 2:

Da equação , temos:

Temos duas possibilidades:

Caso 2.1:

Da equação , temos:

Então, temos os pontos:

Caso 2.2:

Da equação :

Logo, não há essa possibilidade.

Passo 7

Agora, devemos verificar em quais desses pontos a função assume o valor máximo ou mínimo:

Logo, tem ponto de máximo em , assumindo o valor , e tem pontos de mínimo em e , assumindo o valor .

Passo 8

3. Perceba que o ponto pertence a esse disco, porém o ponto não. Então, ele não será candidato a máximo e mínimo. Agora, basta a gente verificar quais dos 5 pontos já encontrados, fornecem o maior e o menor valor da função.

Temos então:

Logo, a função assume valor mínimo em , e o valor máximo em .