Dada a função

Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de na região

Encontrar pontos críticos:

Igualando termo a termo:

Logo:

Substituindo na equação da curva:

Essa desigualdade não é verdadeira. Logo, o ponto não está no interior da região !

Verificar máximos e mínimos na fronteira da região:

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:

Calcular gradiente de :

Utilizar multiplicador de Lagrange:

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

Colocando algumas coisas em evidência na segunda equação:

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva:

Resolver o sistema:

Pela segunda equação:

Temos duas possibilidades:

ou

Primeira possibilidade:

Substituindo na primeira equação:

Resolvendo essa equação de 2º grau obtemos:

Se :

Substituindo na terceira equação:

Como , então .

Então não tem solução real!

Se :

Substituindo na terceira equação:

Novamente : não há solução real!

Segunda possibilidade:

Substituindo na terceira equação:

Temos dois pontos para essa segunda possibilidade:

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

Substituindo :

Então:

Temos então os seguintes valores:

Então o valor máximo é /3, correspondente ao ponto .

E o valor mínimo é , correspondente ao ponto .