Encontre o valor máximo e o valor mínimo da função
Na região
Passo 1
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos de que pertencem a região .
O gradiente de é:
Igualando a zero:
Assim, o único ponto crítico é
Passo 2
Agora vamos buscar os candidatos a máximo e mínimo na fronteira da região , isto é, na curva
O gradiente de é:
Igualando a zero:
Da primeira equação,
Substituindo na segunda:
Assim,
E o único candidato é
Mas, esse ponto não pertence a fronteira da região . Então, podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
Perfeito, então agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:
Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:
Passo 4
Agora, só precisamos manejar as primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição).
Da primeira e segunda equação, temos que
e
Assim
Passo 5
Beleza, agora substituindo isso na ultima equação, temos:
Começando por :
Então nossos canditados a máximo e mínimo são:
Passo 6
Agora :
E nossos candidatos a máximo e mínimo são:
Passo 7
Ufa! Agora sim! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.
Lembrando que a função é:
Assim, temos
Temos, então, que o valor máximo de é 18 e o valor mínimo de é 0.
Resposta
O valor máximo de é 18 e o valor mínimo de é 0.