Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de LaGrange
Justifique a existência e determine os pontos de máximo e mínimo de
em
Passo 1
“Justifique”. Isso intimida, né? Mano(a), quando você vir um comando deste tipo numa questão, tenha o seguinte “mantra” na cabeça:
“ é limitado, pois é uma esfera. E temos também que a fronteira de é fechada, pois é o contorno da casca esférica de equação . Então, pelo teorema de Weierstrass, a função assume pontos de máximo e mínimo em .”
Esses termos em negrito são os pontos nos quais o examinador vai focar, então, se tiver que lembrar de alguma coisa, que seja disso! Diga que a fronteira da região é fechada, e que pelo teorema de Weierstrass, a função assume máximo e mínimo ;)
Passo 2
Agora, com ou sem esse mano do teorema, sejamos práticos: Essa é uma questão de multiplicadores de LaGrange, e a região é a restrição da nossa função!
Dito isso, apliquemos LaGrange no problema:
Pronto, só isso, lembra!? O vetor gradiente da função é múltiplo do vetor gradiente da superfície que contorna a região que limita a função que queremos saber o máximo ou mínimo :)
Passo 3
Show, agora, encontremos os vetores gradiente! Começando pela função , temos:
Agora, pegando essas derivadas e colocando nas respectivas componentes do vetor gradiente, teremos:
Passo 4
Agora, encontremos o vetor gradiente da superfície de :
OBS: Coloquei esse antes do apenas para destacar que é a superfície, então, em vez de , temos apenas !
Passo 5
Perfeito, agora, só precisamos dizer que os vetores são paralelos! Isso significa que:
Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:
Agora, só precisamos manejar as primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição). Como a primeira e a terceira são bem parecidas (uma é exatamente a outra, trocando e de lugar!), vamos tentar algo com elas? Se subtraírmos a terceira da primeira, temos:
Colocando em evidência, temos:
Lindo, não? Para resolver esses sistemas, só com talento e fé, amgio(a) XD
Agora, muita atenção: Não podemos simplesmente cortar esse ! Como ele é coeficiente em ambos os lados, se, por exemplo, , então , e nesse caso, teríamos uma solução para a equação!
Agora que já vimos que é uma das soluções da equação, cortemos essa porcaria XD Então, a equação ficaria assim:
Pronto, temos aí a outra solução para a equação!
Passo 6
Show, agora, coloquemos, como primeiro caso, o valor de na segunda equação, para descobrir o valor de ?
Passo 7
Pronto! Agora que temos o valor de uma variável, precisamos apenas do valor de mais uma, e então poderemos colocar na equação da restrição! Se colocarmos o na primeira equação, teremos:
Perfeito! Agora temos a relação entre e para esse valor de ! Perceba, teríamos encontrado a mesma relação colocando na terceira equação!
Passo 8
Agora estamos prontos para substituir valores na equação da restrição? Lembrando, chegamos até aqui partindo da premissa de que , e, com isso, descobrimos que e fazem parte da nossa solução! Colocando tudo isso na restrição, temos:
Desenvolvendo...
E então, temos dois pontos, um para quando , , e outro para quando .
Passo 9
Acabou? Claro que não! Seria bom de mais pra ser verdade XD
Lembra como tudo isso começou? Partimos dizendo que era solução da nossa equação ! Agora, precisamos colocar como solução! Vou colocar de novo aqui aquelas equações do sistema que caímos fazendo LaGrange, para não precisarmos ficar voltando lá em cima:
Se tomarmos , teremos, pela primeira equação:
E, dessa equação, temos que , ou que, simplesmente !
Passo 10
Para acabar logo com a brincadeira (ou parte dela), vamos analisar esse ? Se temos , temos , pois encontramos esse resultado fazendo . Colocando na equação da restrição, teremos:
E concluímos com mais dois pontos! Se , temos . Se , !
Passo 11
Prossigamos, ainda temos ! Colocando esse valor de na segunda equação, teremos:
E, colocando esse valor na equação da restrição, lembrando que , teremos:
E nossos outros dois pontos são e
Passo 12
Ufa! Agora sim! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.
Lembrando que a função é:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Temos, então, que e são pontos de máximo, enquanto é ponto de mínimo!
Resposta
e são pontos de máximo, enquanto é ponto de mínimo.