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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Exercício 831234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818284858687888990919293949596979899100

Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 28

(Capítulo 14.8 – Exercício 28) Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante p, é equilátero.

Passo 1

Faaala galerinha, nesse exercício vamos usar os multiplicadores de Lagrange ne geometria

Seja g ( x , y , z ) = x + y + z = p o perímetro constante de um triângulo qualquer. Seja

f ( x , y , z ) = ( s - x ) ( s - y ) ( s - z )

Como s = p 2 também é constante, a área A do triângulo será máxima quando f for máxima. Estamos buscando, então, o valor máximo de f dada a restrição g . Devemos achar os valores de λ ,   x ,   y ,   z que satisfaçam a equação ∇ f = λ ∇ g e g . Os pontos ( x , y , z ) resultantes serão possíveis pontos de máximo de f   dada a restrição g . O máximo será o ponto que fizer   f ter o maior valor.

Então bora?

Passo 2

Por multiplicadores de Lagrange, temos:

∇ f = λ ∇ g

< f x , f y , f z >   = λ < g x , g y , g z >  

< - s - y s - z , - s - x s - z , - s - x s - y >   = λ < 1,1 , 1 >

Temos o seguinte sistema:

I   - s - y s - z = λ

I I   - s - x s - z = λ

I I I   - s - x s - y = λ

I V   x + y + z = p

De I, II, III, temos

s - y s - z = s - x s - z = ( s - x ) ( s - y )

De s - y s - z = s - x s - z , obtemos x = y

De s - x s - z = ( s - x ) ( s - y ) , obtemos z = y

Portanto, x = y = z , isto é, os lados do triângulo são congruentes, e o triângulo é equilátero

Foi mais simples do que parecia né? :P

Resposta

x = y = z , isto é, os lados do triângulo são congruentes, e o triângulo é equilátero

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