Multiplicadores de Lagrange
Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função
Restrita a porção do plano
Usando obrigatoriamente o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Primeiramente, podemos notar que o valor mínimo é , olha só:
E:
Logo:
E isso pode acontecer se uma ou duas das coordenadas , e for igual a . Não podem ser as três porque senão seria impossível termos .
Então a partir de agora, vamos considerar , beleza?
Passo 2
Já foi meio caminho andado! Então só falta achar o valor máximo, e é agora que vamos usar Lagrange. Primeiro vamos definir:
Assim vamos ter a restrição e:
Também precisamos do gradiente da né?
Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vamos ter o sistema:
Ou seja, o nosso sistema vai ser:
Passo 3
Multiplicando a primeira equação por , a segunda por e a terceira por vamos ter:
Portanto:
Como vamos ter:
Então, pela última equação do sistema:
Só achamos um ponto candidato a máximo de em , então esse é o ponto de máximo:
E
Logo, o valor máximo de na porção de plano é .
Resposta
Mínimo:
Máximo: