Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Funções de Várias Variáveis, Multiplicadores de LaGrange
Determine os pontos da elipse que fornecem o maior valor da função .
Passo 1
Dê graças a Deus! Uma função de apenas duas variáveis :D é nosso dia de sorte! Beleza, aqui a dica é o seguinte: Temos uma função, que é uma elipse (como o próprio enunciado já fala), e outra, que é a . Queremos maximizar a nossa função , sendo que a restrição imposta é que os pares pertençam à elipse. Então, basta usar LaGrange!
Se não consegue ver fácil quando precisa ou não de LaGrange, pensa o seguinte: Quero maximizar uma função. Ok, que função é essa? No nosso caso, . Se não houvesse restrição, então o máximo dela seria , por que poderíamos aumentar indefinidamente os valores de e ! Então, normalmente a restrição fica na outra equação dada pelo enunciado, no caso, a elipse ;)
Sem mais papo, mãos à obra! Por LaGrange, teremos que o vetor gradiente de uma função é múltiplo da outra. Logo, chamando a elipse, e a função que vai ser maximizada,
Passo 2
Agora temos que calcular as derivadas parciais de cada uma das funções, para montar esses vetores gradientes.
Calculando as derivadas de , temos:
E o vetor fica:
Calculando as derivadas de , temos:
E o vetor gradiente é:
Show, estamos indo bem até agora!
Passo 3
Próximo passo, montar o sistema com as componentes dos vetores gradiente e a equação da restrição elipse (elipse é um nome menos ameaçador):
O que acabamos de fazer foi pegar cada coordenada do vetor gradiente de e igualar à coordenada correspondente de multiplicada por .
Passo 4
Se substituirmos a primeira equação na segunda, teremos:
Daí tiramos que ou é , ou . Lembre: evite cortar variáveis nesses sistemas de LaGrange! Fica mais fácil, já encontramos um que poderia passar despercebido ;)
Passo 5
Agora pegamos esses valores e substituirmos nas equações. Se tivermos , na primeira ou na segunda equação, encontraremos:
E formaremos um par . Mas atenção! Sempre temos que verificar se nosso candidato passa pela equação da restrição. Nesse caso, não está contido na elipse, pois:
Passo 6
Colocando agora , teremos, na primeira equação:
E colocando essa relação na restrição, teremos:
Passo 7
Agora vamos ver quais conseguiremos com . Colocando na elipse (tanto faz por que está ao quadrado), temos:
Beleza! Acabamos de encontrar os dois possíveis valores para !
Passo 8
Com os valores que encontramos para e , podemos formar as seguintes combinações:
Colocando na equação da função , temos .
Colocando na equação da função , temos .
Colocando na equação da função , temos .
Colocando na equação da função , temos .
Então, os pontos que maximizam a nossa função são e
Resposta
Os pontos que maximizam a nossa função são e