Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide
Passo 1
Sim, a questão é meio bizarra, mas não se assuste!
Se olharmos a fundo, temos como pensar o seguinte: Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões do paralelepipedo, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação do elipsóide!
Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de Lagrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!
Passo 2
Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:
Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de , e e multiplicar, aí temos o volume!
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:
Suas derivadas parciais são...
Logo, o gradiente é:
Passo 4
Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função do elipsóide:
Podemos dividir tudo por , pra simplificar:
Lembre-se, antes temos que jogar tudo pro lado esquerdo (dessa vez não faz tanta diferença...)
Enfim, calculando as derivadas parciais do elipsóide:
Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:
Passo 5
Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!
E então é continuar decompondo essa expressão:
Passo 6
E, como temos agora os valores dos denominadores das variáveis do elipsóide em função do , , e é só colocar na própria equação dele! Fica assim:
Colocando os valores dos denominadores...
Desenvolvendo isso, fica...
Passo 7
Com os valores de lambda posso descobrir os valores de ! Olha como é simples:
Para temos:
com fica
Fazemos agora o mesmo para e :
e
Passo 8
Agora vem a parte mais fácil! Escrever nossa função volume com os que encontramos!