UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 4
Determine os valores para de modo que o plano que passa pelo ponto forme, com os planos coordenados, o tetraedro no primeiro octante de vértices de volume mínimo.
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu um plano (vamos recordar qual é a equação geral de um plano que passa pelo ponto ?) que passa pelo ponto e os planos coordenados
Com e que o volume desse tetraedro que se forma deve ser mínimo
Sendo assim, precisamos minimizar a função volume: multiplicadores de Lagrange!
A ideia aqui é encontrar a equação do plano formado pelos planos dos eixos e pela equação geral ali em cima: essa será nossa restrição. A função a ser minimizada é a do volume!
E depois? Depois aplicar a técnica dos multiplicadores!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
Nossas funções
Agora precisamos agras os gradientes
Fazendo , ficamos com esse sistema aqui
Sendo positivos (eles são), concluímos que . Agora partiu resolver esse sistema! Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e a terceira por temos:
Agora podemos somar as três primeiras com a última:
Portanto
Beleza? Agora vamos substituir no nosso sistema
Assim temos que
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Por fim o valor mínimo do volume será
Belezinha?
Até a próxima!