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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Exercício 100123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 4.

4 - Determine o volume máximo V de uma caixa retangular inscrita no elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos uma caixa inscrita em um elipsoide, ou seja, temos uma caixa dentro de um elipsoide.

Nossa tarefa é calcular o volume da caixa dado que a equação que descreve o elipsoide é

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Ok, mas como podemos fazer isso?? 👀👀

Sabemos que o volume de uma caixa é dado por

V = x y z

A ideia principal é usar o multiplicador de Lagrange pra encontrar essa relação igualando o gradiente das duas funções.

Veja só!

Passo 2

Primeiro vamos obter o gradiente de V

∇ V = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z

Podemos obter as derivadas parciais pelo método da derivada de polinômios. Multiplicando pela potência e subtraindo 1 do expoente.

Calculando a derivada de V com relação a x , temos

∂ V ∂ x = y z

Calculando a derivada de V com relação a y

∂ V ∂ y = x z

Calculando a derivada de V com relação a z

∂ V ∂ z = x y

Com isso, nosso gradiente de V é dado por

∇ V = y z , x z , x y

Tranquilo? 😎

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo com a equação do elipsoide. Vamos chama-la de E

∇ E = ∂ E ∂ x , ∂ E ∂ y , ∂ E ∂ z

Perceba que cada variável de E está somando com as outras, então em cada derivada podemos descartar as variáveis que que não são nossa variável de derivação, ou seja

∂ E ∂ x = ∂ x 2 a 2 ∂ x ,   ∂ E ∂ y = ∂ y 2 b 2 ∂ y ,   ∂ E ∂ z = ∂ z 2 c 2 ∂ z

Derivando pelo método de derivação polinomial, temos

∂ E ∂ x = 2 · x 2 - 1 a 2 = 2 x a 2

∂ E ∂ y = 2 · y 2 - 1 b 2 = 2 y b 2

∂ E ∂ z = 2 · z 2 - 1 c 2 = 2 z c 2

Com isso, nosso gradiente de E será

∇ E = 2 x a 2 , 2 y b 2 , 2 z c 2

Aplicando o multiplicador de Lagrange, temos

∇ V = λ ∇ E

y z , x z , x y = λ 2 x a 2 , 2 y b 2 , 2 z c 2

Interessante, não é?

Passo 4

A partir da nossa equação, podemos escrever

y z = λ 2 x a 2 → λ = y z a 2 2 x

x z = λ 2 y b 2 → λ = x z b 2 2 y

x y = λ 2 z c 2 → λ = x y c 2 2 z

Igualando duas a duas, temos

y z a 2 2 x = x z b 2 2 y

Dessa equação, podemos tirar

y 2 a 2 = x 2 b 2

x 2 = y 2 a 2 b 2

A próxima é

x z b 2 2 y = x y c 2 2 z

Daqui temos

z 2 b 2 = y 2 c 2

y 2 = z 2 b 2 c 2   o u   y 2 = x 2 b 2 a 2

Por fim

x y c 2 2 z = y z a 2 2 x

Agora temos

x 2 c 2 = z 2 a 2

z 2 = x 2 c 2 a 2

Passo 5

Substituindo essas informações na equação do elipsoide deixando apenas x , temos

x 2 a 2 + x 2 b 2 a 2 b 2 + x 2 c 2 a 2 c 2 = 1

Com isso, temos que

x 2 a 2 + x 2 a 2 + x 2 a 2 = 1

3 x 2 a 2 = 1

x 2 = a 2 3   o u   x = a 3

Substituindo essa informação em y ² , temos

y 2 = x 2 b 2 a 2 → y 2 = a 2 3 b 2 a 2

y 2 = b 2 3   o u   y = b 3

Em z 2 , temos

z 2 = x 2 c 2 a 2 → z 2 = a 2 3 c 2 a 2

z 2 = c 2 3   o u   z = c 3

Bacana, não é?

Passo 6

Por fim, substituímos os valores de x , y e z na equação do volume V .

V = x y z

V = a 3 · b 3 · c 3

V = a b c 3 3

Fala a verdade! Isso é muito legal!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

V = a b c 3 3

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