Um disco circular tem a forma da região . Se graus é a temperatura em qualquer ponto do disco e , encontre os pontos mais quentes e mais frios do disco.
Passo 1
A primeira coisa que temos que ver é se há algum ponto crítico dentro da região:
Calcular gradiente da função:
O ponto crítico deve ter
Da primeira e da segunda equação equação vamos ter
O ponto crítico vai ser
Vamos ver agora se esse ponto está dentro do disco, substituindo o valor na região temos
Isso é verdade então ele está na restrição, devemos agora aplicar o teste da segunda derivada para ver se ele é ponto de máximo ou mínimo ou não é nada.
Passo 2
Temos que fazer
Para cada ponto, para isso primeiro vamos achar as derivadas
Vamos começar pelo ponto , as derivadas vão ser
Então
Logo como ele vai ser um ponto de mínimo local.
Passo 3
Vamos agora verificar os máximos e mínimos na fronteira do disco, ou seja, quando
Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:
Equação da superfície:
Passo 4
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 7
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Passo 8
Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:
Equação da fronteira:
Passo 9
Pela primeira equação vamos ter
Se , pela terceira equação temos
Não precisamos nos preocupar com o valor de aqui, já temos e desse ponto. Vamos ao outro ponto.
Se temos
Substituindo na equação da fronteira vamos ter
Os pontos que achamos foram
Passo 10
Vamos pegar os pontos que temos, os da restrição e o nosso ponto de mínimo local, o menor valor vai ser o mínimo no disco e o maior valor da função vai ser o máximo no disco.
Assim o máximo vai ser em
Mínimo vai ser em