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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para determinar os valores extremos da função

f x , y , z = x y z 3

Sobre a esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 3

E classifique-os como máximo ou mínimo.

Passo 1

Bom, a questão já disse pra gente o que temos que fazer. É só executar então. Bora lá.

Nossa função é

f x , y , z = x y z 3

Seu gradiente é

∇ f x , y , z = 1 3 ∙ y z x y z 2 3 , 1 3 ∙ x z x y z 2 3 , 1 3 ∙ x y x y z 2 3

E nossa restrição é:

x 2 + y 2 + z 2 = 3   ⇒ g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3 = 0

Seu gradiente é

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 2

Aplicando o método:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

1 3 ∙ y z x y z 2 3 , 1 3 ∙ x z x y z 2 3 , 1 3 ∙ x y x y z 2 3 = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição:

1 3 ∙ y z x y z 2 3 = λ . 2 x 1 3 ∙ x z x y z 2 3 = λ . 2 y 1 3 ∙ x y x y z 2 3 = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 3  

Passo 3

Se passarmos o 3 x y z 2 3 para um lado e o x ,   y ,   z para o outro nas três primeiras equações, ficamos com:

y z x = 6 λ x y z 2 3 x z y = 6 λ x y z 2 3 x y z = 6 λ x y z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 = 3

Dai podemos igualar essas três equações:

y z x = x z y = x y z

Se olharmos duas a duas, tiramos que

y z x = x z y   ⇒ y 2 = x 2

x z y = x y z   ⇒ z 2 = y 2

Ou seja,

x 2 = y 2 = z 2

Passo 4

Se chamarmos esse resultado que acabamos de encontrar de, sei lá, u , assim

x 2 = y 2 = z 2 = u

E substituirmos isso na equação da restrição, temos que

x 2 + y 2 + z 2 = 3

3 u = 3

u = 1

Mas, como

u = x 2   ⇒ x = u = 1 = ± 1  

O mesmo vale para y e para z .

Portanto, os pontos candidatos para os valores de máximo e mínimo da nossa função são todos os pontos que combinam todos esses valores de x , y , z :

P 1 = ( 1,1 , 1 )

P 2 = ( - 1,1 , 1 )

P 3 = ( 1 , - 1,1 )

P 4 = ( 1,1 , - 1 )

P 5 = ( - 1 , - 1,1 )

P 6 = ( - 1,1 , - 1 )

P 7 = ( 1 , - 1 , - 1 )

P 8 = ( - 1 , - 1 , - 1 )

Passo 5

Agora vamos testar esses pontos na função para saber quais são os pontos de máximo e quais são os pontos de mínimo.

f x , y , z = x y z 3

f P 1 = 1

f P 2 = - 1

f P 3 = - 1

f P 4 = - 1

f P 5 = 1

f P 6 = 1

f P 7 = 1

f P 8 = - 1

Assim, 1 é o valor máximo e - 1 é o valor mínimo de f sobre a esfera.

Resposta

1 é o valor máximo e - 1 é o valor mínimo de f sobre a esfera.

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