Seja .

a) Exiba a matriz hessiana de no ponto e a aproximação quadrática de neste ponto.

b) Encontre um aberto tal que a matriz hessiana de em todo ponto seja estritamente positiva definida. Desenhe o aberto e, ao lado, sua fronteira.

c) Encontre um aberto tal que a matriz hessiana de em todo ponto seja indefinida.

d) Classifique os pontos críticos de .

e) Calcule o valor de máximo de restrita à curva

Dica: Considere que

Agora podemos montar a matriz!

Ela é

Colocando as derivadas, fica:

Colocando no ponto ,

A aproximação quadrática no ponto vai ser

Temos quase tudo da fórmula, menos e

Já achamos as derivadas para o gradiente, elas são

Então

Isso nos diz que

b) Uma hessiana é estritamente positiva definida se, e somente se:

• Seu determinante é positivo
• é positiva

Vamos dar uma olhada no determinante?

Como ele deve ser maior que , temos:

Show? E para o segundo ponto, temos:

Agora, vamos resolver o sistema com essas duas inequações:

Vejamos... a primeira tem o termo , que nunca é negativo, certo? Logo, já que esse termo não vai mudar o sinal da expressão, podemos dizer que:

Show? Acabamos de ver que deve ser menor que !

Vamos olhar para a segunda inequação agora? Ela é:

Podemos colocar o em evidência, o que fornece:

Novamente, o termo não muda em nada o sinal da inequação, pois é sempre positivo e está multiplicando o termo entre parêntesis ;) Podemos dizer, então, que:

Passando o para o lado direito, temos:

E perceba que essa inequação é compatível com o que havíamos encontrado! Ela ainda fornece a relação entre e que faz com que a hessiana seja estritamente positiva definida!

Podemos dizer que o aberto , então, é:

Vamos ver, agora, que região é essa que encontramos? O que acha de começarmos pelo seu contorno, ou seja, colocando um sinal de igual na inequação? Fica:

Podemos escrever essa equação como:

Já deu pra ver que essa é uma curva exponencial... Vemos, também, que a medida que cresce, os valores de tendem a , e, quando , . E, ainda, a medida que tente ao infinito negativo, o termo tende ao infinito positivo, que, com o sinal de na frente, vai para o infinito negativo também!

Juntando essas informações, temos que a curva se parece com:

Como a inequação era , então estamos na região “menor que” a curva, ou seja, em baixo dela!

c) Para a hessiana ser estritamente indefinida, seu determinante deve ser menor que , ou seja,

Pelo mesmo mecanismo que do passo anterior, podemos colocar em evidência, que dá:

Como o termo não interfere em nada no sinal, temos:

Passando o para o lado direito, teremos:

E aí está a região definida pelo nosso aberto ! Ele pode ser escrito formalmente como:

d) Vamo que vamo! Agora é classificar pontos críticos... Do passo , temos que as derivadas parciais são:

Logo, os pontos críticos são aqueles que resolvem o sistema:

Pela primeira equação já vemos que, como o não se anula, então precisamos de .

Olhando agora, para a segunda, colocando o , teremos:

Para que isso ocorra, então , também! Assim, o único ponto crítico é , show?

Agora que temos o ponto, podemos jogar na expressão do determinante, que é:

Colocando , nela, teremos:

Como , então temos que é um ponto de sela! Ponto encontrado e classificado, letra detonada!

e) Vamos lá, última letra, aguente firme! Essa aqui é uma clássica de LaGrange, pois temos que encontrar o máximo/mínimo de uma função restrita a uma curva dada! Neste caso, a equação da nossa curva é:

A variação em entre e não importa agora pois só restringe o pedaço da curva que estamos tratando. Vamos encontrar os pontos e ver quais estão dentro dessa restrição de ;)

Sem mais enrolação, vamos montar o sistema com a equação do multiplicador e da restrição?

Agora, precisamos, para resolver esse sistema, encontrar os vetores gradientes de e .

O de já sabemos, é só juntas as primeiras derivadas no vetor:

Agora, para descobrir o vetor gradiente de , precisamos derivar a função. Temos:

E, assim, o vetor fica:

Agora que temos os vetores, podemos voltar no sistema:

E, igualando as coordenadas, fica:

Como as duas primeiras equações estão igualadas ao , podemos dizer que:

Passando o para o lado esquerdo, teremos:

Colocando o em evidência, fica:

E, dessa equação, vemos que, ou , para que seja , ou , para que se anulem os dois lados :D

Ok, temos as duas possíveis soluções do sistema...

Vamos verificar se elas são verdadeiras? Se colocarmos na equação da restrição, teremos:

Opa! não é uma opção de resposta! Lembra que está entre e , pela definição da nossa curva? Daí já vemos que não satisfaz nosso problema!

Vamos ver agora o que eu acontece colocando na restrição?

Show! Acabamos de encontrar o ponto como solução para o sistema! Vamos ver quando vale a função neste ponto?

E agora, como fazer para saber se é máximo ou mínimo?

A nossa curva é limitada! Isso significa que não basta ver os pontos críticos sobre ela, apenas, como acabamos de fazer! Temos que verificar o valor da função também para os seus pontos máximos e mínimos!

Eles ocorrem quando e quando , ou seja, nos limites definidos para pelo enunciado ;)

Quando , temos o igual a:

E o ponto a ser avaliado é . Seu valor em é:

E, como o enunciado disse, , logo, até é ponto de máximo!

Quando na curva, temos:

E o ponto a ser avaliado é . Colocando-o em , teremos:

Logo, é realmente o ponto de máximo e vale !