Multiplicadores de Lagrange
Encontre o máximo global da função
restrita ao elipsoide
Passo 1
Verificar máximos e mínimos na superfície (elipsoide):
Para isso, calcular gradiente da função:
Passo 2
Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:
Equação da superfície:
Passo 3
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 4
Calcular gradiente de :
Passo 5
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 6
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Colocando algumas coisas em evidência:
Passo 7
Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:
Equação da superfície:
Passo 8
Resolver o sistema:
Vamos supor que são diferentes de zero. Assim, podemos dividir a primeira equação pela segunda, termo a termo:
Simplificando os dois lados:
Multiplicando cruzado:
Dividindo, agora, a segunda equação pela terceira, termo a termo:
Simplificando e multiplicando cruzado:
Pela equação que obtemos acima, podemos escrever em termos de :
Agora temos e em termos de . Vamos substituir na última equação:
Substituindo:
Pronto! Descobrimos o valor de . Agora é só voltar e substituir para encontrar e :
Substituindo em :
Substituindo em :
Show! Temos, agora, os valores de , e :
Agora é só tirar as raízes quadradas:
Ótimo! Mas isso se todas incógnitas forem diferentes de zero, lembra?
Passo 9
Se ou ou , perceba que a nossa função seria
Certo? Se, pelo menos uma dessas variáveis for zero, a função zera!
Vamos supor que agora.
Substituindo no sistema:
Então, pelas três primeiras equações, temos que
Pela primeira equação, temos que ou .
Pronto! Nem precisa fazer mais nada! Temos o mesmo caso: se, pelo menos uma variável for zero, então a função zera! De novo, teríamos que
Passo 10
Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:
Passo 11
Nos casos em que , , ou , vimos que
Passo 12
Agora precisamos analisar para os pontos que encontramos antes:
Perceba que temos oito pontos:
Oito porque temos duas opções de sinal para cada coordenada, certo?
Substituindo:
Passo 13
Então, encontramos que pode ser , e .
Logo, o valor máximo é .
Agora é só ver quais são os pontos que resultam em um sinal positivo.
Para o sinal do produto ser positivo, temos duas possibilidades:
- Os três são positivos
- Um positivo e dois negativos
Se os três são positivos:
Se um é positivo e os outros dois são negativos, temos três possibilidades: ou , ou ou são positivos e os outros dois negativos:
positivo e as outras variáveis negativas:
positivo e as outras variáveis negativas:
z positivo e as outras variáveis negativas:
Beleza?
Então temos quatro pontos que correspondem ao valor máximo de :
Resposta
Valor máximo:
Pontos de máximo: