Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a restrição dada:

Agora vamos pegar a equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo e deixar zero no lado direito. Essa será nossa função :

Seu gradiente vai ficar:

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

Resolvendo o sistema, pela equação temos, para :

Pela equação , assumindo , fazendo a mesma coisa, chegamos em:

E, pela terceira equação, fazendo também a mesma coisa, ficamos com:

Agora, podemos substituir os valores de em função de na equação da restrição:

Substituindo o valor de , podemos agora encontrar os valores de , pois

O mesmo vale pro e pro , assim

Temos, portanto, 2 pontos candidatos: os pontos

Agora, antes de a gente testar esses candidatos na função, vamos lembrar que chegamos a eles a partir da suposição de que , e .

Assim, temos a possibilidade de termos .

Mas, esse ponto não pertence a restrição

Logo, ele não é um candidato.

Além disso, podemos ainda considerar as situações em que só uma das variáveis é igual a zero e as outras duas são diferentes de zero e, também, a situação em que duas das variáveis são iguais a zero e a terceira é diferente de zero.

Nesses casos, chegaremos a pontos candidatos que, certamente, nos darão valores para a função

Menores do que os pontos que já achamos.

Isso porque nossa função é a soma de elementos elevados ao quadrado. O valor máximo dela será quando todos esses elementos valerem alguma coisa (que é o caso de e ) e o valor mínimo dela será quando dois desses elementos valerem zero. Assim, vamos considerar apenas o caso em que duas variáveis são nulas e uma é diferente de zero.

Vamos lá:

Se tivermos , com as diferente de zero, a equação da restrição fica:

Substituindo o valor de , podemos agora encontrar o valor de , pois

Assim, temos os candidatos

Como no passo 4 achamos que valem a mesma coisa, considerando todos diferentes de zero, se fizermos as contas considerando e ou e , chegaremos em algo parecido com o que achamos no passo anterior. Assim, teremos mais quatro candidatos:

Vamos agora testar na função pra saber qual o valor máximo e mínimo dela.

Nossa função é

No ponto e :

No ponto e :

E o mesmo vale para os pontos e e e .

Assim, o valor máximo da nossa função ocorre nos pontos e e é e o valor mínimo da nossa função ocorre nos pontos e é .