Multiplicadores de lagrange
A temperatura em uma placa de metal é dada por
- Determine e classifique os pontos críticos de em todo .
- Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região
Passo 1
a)
Vamos calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos
Os pontos críticos sao aqueles onde as duas derivadas parciais são zero, vamos achar o seguinte sistema
Da primeira equação temos
Da segunda equação temos
Igualando os valores de vamos ter
Assim o só pode ser zero, o que faz o ser zero também
Passo 2
O único ponto crítico que temos é . Agora devemos calcular o determinante de
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
Passo 3
Substituindo os valores do ponto vamos encontrar
Passo 4
Vamos agora calcular o determinante
Temos que
Logo ele é um ponto de sela.
Passo 5
Temos uma região limitada, então sabemos que ela tem um valor de máximo e de mínimo global. Devemos achar todos os extremos da função e comparar os seus valores. Dentro de o único ponto candidato é o mas ele é ponto de sela então não é extremo.
Para a fronteira devemos usar multiplicadores de lagrange. Onde a curva fechada é
e a nossa função em questão é
Passo 6
Devemos calcular
Vamos achar os gradientes de e
Vamos ter então o seguinte sistema
Devemos resolver esse sistema.
Vamos isolar na primeira equação
Vamos agora isolar o na segunda equação
Se , podemos dividir as duas equações que achamos ali em cima
Agora que temos uma relação entre e podemos substituis na terceira equação
Passo 7
Vamos agora achar o ,
Achamos aqui pontos
Lembra que falamos se ? Vamos ver agora se
Passo 8
Se vamos ter
e
Isso com as duas primeiras se substituirmos na terceira vamos ter
O que não é possível. Então os únicos pontos são aqueles do passo 6
Passo 9
Agora vamos substituir esses pontos na função e ver, o maior vai ser o máximo e o menor vai ser o mínimo.
Podemos perceber então que o máximo acontece em e e o mínimo acontece em e