Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 3
(Capítulo 14.8 – Exercício 3) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Faaala galera, se liga: aqui temos uma função e uma restrição, e aí queremos encontrar o máximo e mínimo da função seguindo essa restrição, sacou?
Então, utilizando multiplicadores de Lagrange, devemos achar os valores de que satisfaçam a equação e e . Os pares resultantes serão possíveis pontos de máximo ou mínimo de dada a restrição . O máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de . Então boraaa
Passo 2
Vamos lá, temos
Substituindo as derivadas parciais:
Temos o seguinte sistema:
Em I:
Em II:
Igualando os dois:
Teremos que ou , .
Se , . Então essa solução não serve pra gente.
Se , , então:
Nesse caso teremos os pontos e como pontos críticos
Passo 3
Então, temos
Se , , então:
O que é impossível, então não tem solução pra esse caso.
Repare que se você fizer por exemplo:
E a vai ser:
Que vai dar um número muito grande.
Ou seja, não tem valor de máximo dentro dessa restrição, porque podemos fazê-la tão grande quanto a gente queira.
Então, os pontos que achamos são pontos de mínimo.
Resposta
Os possíveis extremos são, então, e . Os dois são pontos de mínimo.