Seja e o domínio dado por . Então
- Ambos os valores de máximo e mínimo de em ocorrem no interior de .
- O valor máximo de em ocorre na fronteira de e o valor mínimo de em ocorre no interior de
- O valor mínimo de em ocorre na fronteira de e o valor máximo de em ocorre no interior de
- Ambos os valores máximo e mínimo de em ocorrem na fronteira de
- Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Seguinte! Vou fazer essa questão de duas formas diferentes! Uma bem rapidinha mas que tem que pensar um pouco. Outra super demorada que é só aplicar fórmula haha! Vamos lá:
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais de uma função com restrição o processo é sempre o mesmo: Verificar se há um ponto crítico dentro da região, e verificar se há máximos e mínimos na fronteira da região.
Verificando pontos críticos dentro da região:
Passo 2
Como nos pontos críticos temos as derivadas nulas, então
Logo, temos um único ponto crítico:
E se você reparar, esse ponto está dentro do domínio, pois se a gente substituir ele na equação de , vemos que não chegamos a nenhum absurdo matemático.
Vamos guardar ele então.
Passo 3
É agora que entra a malandragem! Sabemos que o máximo e o mínimo vão estar ou dentro da região ou na fronteira. Então vamos “andar” um pouquinho pros lados desse ponto e ver o que acontece:
Percebeu? e se encontram dentro de ! E um desses pontos tem valor maior que em e o outro tem valor menor que em . Então com certeza não é ponto de máximo nem de mínimo! Isso já nos diria que a correta é a letra !
Agora se você acha que não vai conseguir pensar nisso na hora da prova vamos para o jeito mais mecânico, achar de fato os máximos e mínimos!
Passo 4
Agora precisamos olhar os pontos que estão na fronteira da região . Ou seja, os pontos que estão sobre
Isso não é um quadrado, nem retângulo, nem triangulo, nem nada que a gente possa pegar os vértices e tal. Mas conhecemos outra forma de descobrir os candidatos a máximo e mínimo em cima de uma restrição: Multiplicadores de Lagrange!!
Vamos usá-lo então
Passo 5
Jogando tudo para a esquerda e chamando de , temos:
O gradiente disso é:
Passo 6
O gradiente de nós já temos:
Agora é só aplicar Lagrange:
Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:
Passo 7
Vamos dar uma manipulada na primeira equação:
Uma das maneiras de isso ser satisfeito é se . Nesse caso:
Substituindo esses pontos na segunda equação:
Show, temos pontos críticos:
Passo 8
Vamos checar a outra forma disso aqui ser verdadeiro:
É se !
Considerando que (porque testamos quando ele é ), podemos passar tudo pro outro lado dividindo:
Substituindo na segunda equação:
Essa equação por sua vez é válida para:
Caso :
Substituindo em :
Show, temos mais dois pontos!
Pra finalizar, temos que analisar o caso onde ! Calma que ta acabando!
Como:
Não podemos ter . Então esse caminho não vai trazer solução pra gente!
Passo 9
Ufa! Então nossos pontos críticos são:
Sendo que o primeiro está no interior de e os outros estão em cima de !
Vamos substituir eles na equação e ver qual é o máximo e qual o mínimo:
Então descobrimos que tanto o máximo quanto o mínimo se encontram na fronteira de ! Letra !
Resposta
Letra